Числовые характеристики системы двумерных непрерывных случайных величин.
Интервальные оценки.
(503) Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений s = 40 м проведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью a = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений xв = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены по нормальному закону.
(504) Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы из всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы s = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону.
Точечные оценки.
(454) Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:
| xi | |||||
| ni |
(458) В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений, б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
(461) Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
| xi | ||||
| ni |
(467)Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
| xi | ||||
| ni |
Полигон и гистограмма.
(444) Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
| xi | |||||
| ni |
(447) Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
| Номер интервала i | Частичный интервал xi - xi+1 | Сумма частот вариант интервала ni |
| 2-7 | ||
| 7-12 | ||
| 12-17 | ||
| 17-22 | ||
| 22-27 |
Числовые характеристики системы двумерных непрерывных случайных величин.
(431) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
f(x,y) = 36 xye-3(x^2 +y ^2) x>0, y>0
0, x<0, y<0
Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.
(432) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
f(x,y) = 2cos x cos y в квадрате 0<x<p/2, 0 <y<p/2
0 вне квадрата
Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.
(433) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
f(x,y) = (1/2)sin( x +y ) в квадрате 0<x<p/4, 0 <y<p/4
0 вне квадрата
Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.
Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины.
(424) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
F(x,y)= Ce-xx-2xy-4y y
Найти: а) постоянный множитель С, б) плотность распределения составляющих, в) условные плотности распределения составляющих.
Закон распределения двумерной непрерывной случайной величины. Плотность и функция распределения.
(411) Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=1, x=2, y=3, y=5, если известна функция распределения:
F(x,y) = 1 - 2-x - 2-y + 2-x-y x≥0, y≥0
0, x<0, y<0
(413) Задана функция распределения двумерной случайной величины:
F(x,y) = 1 - 2-x - 2-y + 2-x-y x≥0, y≥0
0, x<0, y<0
Найти плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y).
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
(283) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = cos x в интервале 0<x<p/2, вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание функции Y=X2 .
(287) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (-3/4) x2 +6x - (45/4) в интервале 3<x<5, вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание, моду и медиану X.
(293) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 1/(π(9 - x2)1/2 в интервале -3<x<3, вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.
(297) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения:
F(x,y) = 0, x≤-2,
x/4 +1/2, -2<x≤2,
1, x>2.
Функция распределения и плотность распределения непрерывных случайных величин.
(263) Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:
F(x) = 0, x≤ 0,
sin 2x, 0 <x≤ π/4,
1, x> π/4
Найти плотность распределения f(x).
(268) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
f(x) = 0, x≤ 0,
sin x, 0 <x≤ π/2,
0, x> π/2
Найти функцию распределения F(x).
(269) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
f(x) = 0, x≤ 1,
x – 1/2, 1 <x≤ 2,
0, x> 2
Найти функцию распределения F(x).
Равномерное распределение.
(308) Цена деления шкалы амперметра - 0.1А. Показания амперметра округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.02А.
(310) Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
(316) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).
Эксперимент Бернулли.
(111) Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? Ничьи во внимание не прнимаются.
Формула Байеса.
(101) В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием M. Вероятность полного излечения заболевания К равна 0,7, заболевания L – 0,8, заболевания M – 0,9. Больной , поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.
(102) Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому – 0,55, ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом – 0,9, вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.
Полная вероятность.
(91) В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата – 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
(93) В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей – на заводе №2, 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь изготовлена на заводе №1, отличного качества, равна 0,9, для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3 – 0,6 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
Интервальные оценки.
(503) Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений s = 40 м проведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью a = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений xв = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены по нормальному закону.
(504) Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы из всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы s = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону.
Точечные оценки.
(454) Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:
| xi | |||||
| ni |
(458) В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений, б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
(461) Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
| xi | ||||
| ni |
(467)Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
| xi | ||||
| ni |
Полигон и гистограмма.
(444) Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
| xi | |||||
| ni |
(447) Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
| Номер интервала i | Частичный интервал xi - xi+1 | Сумма частот вариант интервала ni |
| 2-7 | ||
| 7-12 | ||
| 12-17 | ||
| 17-22 | ||
| 22-27 |
Числовые характеристики системы двумерных непрерывных случайных величин.
(431) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
f(x,y) = 36 xye-3(x^2 +y ^2) x>0, y>0
0, x<0, y<0
Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.
(432) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
f(x,y) = 2cos x cos y в квадрате 0<x<p/2, 0 <y<p/2
0 вне квадрата
Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.
(433) Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
f(x,y) = (1/2)sin( x +y ) в квадрате 0<x<p/4, 0 <y<p/4
0 вне квадрата
Найти математическое ожидание и дисперсии составляющих.