Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

МО в теории вероятностей относится к типу характеристик положения (см. далее мода, медиана), кроме них используется еще ряд числовых характеристик различного назначения, среди них особое значение имеют моменты (начальные, центральные).Положим g(x)=x^S.

Опр.Начальным моментом S-го порядка СВ Х называется a_S=M[X^S]. Замечание: Иногда используются абсолютные начальные моменты S-го порядка M[çXç^S].

Для СВДТ:

Для СВНТ: .

Замечание.

– начальный момент 1-го порядка.

Обозначим .

Определение. Центральным моментом S-го порядка называется .

Замечание.

Иногда используются абсолютные центральные моменты S-го порядка.

.

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Определение. Центральный момент II-го порядка ( ) называется дисперсией СВ Х и обозначается .

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Опр. – называется средним квадратическим отклонением СВ Х (стандартным отклонением в литературе).

Свойства дисперсии:

1. .

Доказательство:

g.

2. .

Доказательство:

.

(*).

По свойству 4 МО и с учетом неравенства (*) получаем доказательство свойства 2 для дисперсии.

3. .

Доказательство:

Пример.

Пусть на прямой в точках x₁ <x₂ <…<x_k расположены точечные массы p₁,p₂., p_k Σp_i=1:

M[X]=Σx_ip_i (1<i<k) – центр тяжести

D[X]= Σ(x_i-m_i)p_i (1<i<k) – момент инерции масс p_i относительно центра тяжести.

Таким образом, МО характеризует место, вокруг которого группируются массы p_i, а дисперсия – степень разбросанности этих масс относительно МО.

Оценка отклонения теоретического распределения от нормального; асимметрия и эксцесс.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики (асимметрию и эксцесс).

Для нормального распределения эти характеристики равны 0, поэтому, если для изучаемого теоретического распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот большие значения a_X и e_X, указывают значительные отклонения от нормального.

Пологая часть правее моды, значит a_X>0.

Пологая часть левее моды, значит a_X<0.

Замечание.При исследовании эксцесса надо считать, что нормальное исследуемое распределение, имеют одинаковое МО и дисперсию.

Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО.

3) Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В этом случае в качестве оценки дисперсии используют .

В литературе по математической статистике доказано, что имеет распределение .

По таблице распределения определяются квантили и .

.

.

58. Марковская зависимость испытаний.

Определение цепи Маркова.

Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема цепей Маркова.

Пусть производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий.

верхние индексы обозначают номер испытания.

Опр. Последовательность испытаний образует простую цепь Маркова, если условная вероятность в испытании, где S=1,2,3,K осуществится событию , зависит только от того, какое событие произошло при S-ом испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях. Замечание. Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний A₁ ,A₂ ,K,A_k и меняет свое состояние только в моменты t₁ ,t₂ ,K,t_n ,K . Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние , в момент времени t_S зависит только от самого и того, в каком состоянии система находилась в момент времени и не изменяется оттого, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты времени.

Пример 1. В модели Бора атома водорода, электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим, через – электрон находится на i орбите и предположим, что изменение состояние атома может наступать только в моменты (в действительности эти моменты представляют собой СВ), то тогда вероятности перехода с i орбиты на j орбиту в момент времени t_S зависит только от i и j и не зависит от того на каких орбитах находился электрон в «прошлом».

Разность (i–j) зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент времени t_S.

Это пример цепи Маркова с бесконечным числом состояний.

Переходные вероятности.

Матрица перехода. Далее будем рассматривать только однородные цепи Маркова, в которых условная вероятность появления события при условии, что в предыдущем S-ом испытании осуществилось не зависит от номера испытания.

Назовем эту вероятность – вероятностью перехода и обозначим .

Полную вероятностную картину возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к следующему можно задать с помощью матрицы

– матрица перехода

Замечание.

1. Очевидно, что .

2. Из того, что при переходе из состояния система обязательно переходит в одно из состояний , следовательно, в матрице перехода .

Опр. Любая квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют следующим требованиям:

, называется стохастической.

Одной из главных задач в теории цепей Маркова является задача определения вероятности перехода .

Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером (S+m). В этом испытании осуществится какое-либо одно из возможных событий , тогда вероятность перехода , а вероятность перехода .

По формуле полной вероятности получим

(*)

Обозначим через

Согласно формуле (*) получаем, что .

В частности, когда n = 2, получаем

n = 3

Отметим частный случай формулы (*), когда m = 1

.

Пример 2 Процесс блуждания с отражением.

Пусть частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты времени Частица может находиться в точках с целочисленными координатами . В точках a, b находятся отражающие стенки, каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью p, а влево с вероятностью q, если только частица не находится у стенки. Если частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на 1 внутрь промежутка между стенками.

Получается цепь Маркова с конечным числом состояний.

Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

МО в теории вероятностей относится к типу характеристик положения (см. далее мода, медиана), кроме них используется еще ряд числовых характеристик различного назначения, среди них особое значение имеют моменты (начальные, центральные).Положим g(x)=x^S.

Опр.Начальным моментом S-го порядка СВ Х называется a_S=M[X^S]. Замечание: Иногда используются абсолютные начальные моменты S-го порядка M[çXç^S].

Для СВДТ:

Для СВНТ: .

Замечание.

– начальный момент 1-го порядка.

Обозначим .

Определение. Центральным моментом S-го порядка называется .

Замечание.

Иногда используются абсолютные центральные моменты S-го порядка.

.

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Определение. Центральный момент II-го порядка ( ) называется дисперсией СВ Х и обозначается .

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Опр. – называется средним квадратическим отклонением СВ Х (стандартным отклонением в литературе).

Свойства дисперсии:

1. .

Доказательство:

g.

2. .

Доказательство:

.

(*).

По свойству 4 МО и с учетом неравенства (*) получаем доказательство свойства 2 для дисперсии.

3. .

Доказательство:

Пример.

Пусть на прямой в точках x₁ <x₂ <…<x_k расположены точечные массы p₁,p₂., p_k Σp_i=1:

M[X]=Σx_ip_i (1<i<k) – центр тяжести

D[X]= Σ(x_i-m_i)p_i (1<i<k) – момент инерции масс p_i относительно центра тяжести.

Таким образом, МО характеризует место, вокруг которого группируются массы p_i, а дисперсия – степень разбросанности этих масс относительно МО.