Двумерные дискретные случайные величины
Распределение вероятностей
Будем рассматривать двумерную случайную величину как двумерный случайный вектор
.
Компонентами вектора ζ являются дискретные случайные величины x и h, которые могут принимать значения и
соответственно. Реализации вектора ζ будем обозначать вектором z.
При каждом испытании компоненты вектора ζ могут принимать значения с вероятностью совместного осуществления двух событий
. В дальнейшем будем пользоваться упрощенными обозначениями этой вероятности в виде
или
.
Кроме того, заметим, что события образуют полную группу попарно несовместных событий. То же самое можно утверждать и о событиях
.
Представим совместное распределение вероятностей в виде таблицы 1.
События ,
, ...,
не пересекаются, а их объединение есть не что иное, как событие
. Поэтому, суммируя элементы этой таблицы по строкам, в соответствии с аксиомой аддитивности (см. разд. 1.2.2) получим значения вероятностей
. По этой же причине суммирование элементов таблицы по столбцам даст значения вероятностей
.
Таблица 1
Совместное рaспределение вероятностей дискретного случайного вектора
![]() | ![]() | ![]() | . . . | ![]() | . . . | ![]() | Маргинальное распределение случайной величины x |
![]() | ![]() | ![]() | . . . | ![]() | . . . | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | . . . | ![]() | . . . | ![]() | ![]() |
. . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
![]() | ![]() | ![]() | . . . | ![]() | . . . | ![]() | ![]() |
. . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
![]() | ![]() | ![]() | . . . | ![]() | . . . | ![]() | ![]() |
Тот же результат мы получим, если определим условные вероятности
,
и поскольку события и
образуют полные группы попарно несовместных событий, применим формулу полной вероятности
,
.
Сумма всех вероятностей .
Мы получили маргинальные (частные) распределения случайных компонент x и h(см. также разд. 1.3.1):
;
.
Признак независимости случайных компонент вектора ζ: случайные компоненты x и hвектора ζ независимы тогда и только тогда, когда их совместное распределение вероятностей может быть представлено как произведение маргинальных (частных) распределений (см. также разд. 1.2.3): .
Числовые характеристики
Числовые характеристики, а именно моменты отдельных составляющих вектора ζ определяются через маргинальные (частные) распределения точно так же, как для одномерной (скалярной) дискретной случайной величины:
начальные моменты k-го порядка
,
,
в частности, математические ожидания
,
;
центральные моменты k-го порядка
,
,
в частности, дисперсии
,
.
Для составляющих случайного вектора определены смешанные моменты:
начальные моменты порядка k, r
;
центральные моменты порядка k, r
.
Особое значение для дальнейшего имеет центральный смешанный момент порядка (1, 1),который называется корреляционным моментом или ковариацией:
.
Для того чтобы установить соотношение между центральным и начальным смешанными моментами раскроем скобки в последнем выражении и выполним несложные преобразования:
.
Окончательно получим .
Если x и h независимы, то
.
Но, как было установлено в разд. 1.3.3, и
, поэтому центральный смешанный момент
независимых случайных величин равен нулю. Однако из того, что
=0, независимость случайных величин x и h,вообще говоря,не следует. О случайных величинах, корреляционный момент которых равен нулю, говорят, что они не коррелированы. Для оценки степени коррелированности случайных величин в приложениях удобнее использовать безразмерный коэффициент корреляции
. Его значение не зависит от масштаба, в котором выражены значения случайных величин:
.
С целью определения диапазона значений коэффициента корреляции рассмотрим крайний случай взаимно однозначной зависимости между x и h,а именно допустим, что h = ax + b. Другой крайний случай, а именно независимость x и h,рассмотрен ранее в настоящем разделе.
Из предположенной линейной зависимости следует (см. также разд. 1.3.4):
,
,
.
После простых преобразований получим
,
.
Таким образом мы установили, что коэффициент корреляции не превышает единицу по абсолютной величине: .
Математическое ожидание случайного вектора – вектор, составляющие (компоненты) которого суть математические ожидания соответствующих компонент:
.
Дисперсии компонент случайного вектора ζ и их ковариации объединяют в ковариационную матрицу следующим образом:
.
В теории вероятностей часто используется корреляционная матрица, которая получается из ковариационной матрицы путем деления ее элементов на произведение среднеквадратических значений:
.
Эти матрицы симметричны и неотрицательно определены. Если компоненты случайного вектора независимы или хотя бы не коррелированы, матрицы и
диагональны.
Математическое определение ковариационной матрицы:
,
где Т – символ транспонирования.
Раскроем это выражение.
.
Математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, элементы которой суть математические ожидания:
=
,
с чем мы уже ознакомились в настоящем разделе.
1.4.3. Линейное преобразование случайного вектора.
Числовые характеристики
Общий вид линейного преобразования случайного вектора есть умножение его на матрицу и добавление произвольного неслучайного вектора:
.
Раскроем это преобразование:
.
Вычислим вначале математическое ожидание от первой составляющей первого из векторов:
.
Точно так же
.
Поэтому
.
В соответствии с математическим определением ковариационной матрицы
.
Таким образом, если случайный вектор ζ претерпевает преобразование , то математическое ожидание и ковариационная матрица результата такого преобразования вычисляются по формулам
,
.
Мы снова убеждаемся в том, что ковариационная матрица не зависит от смещения, которое задается вектором b.
Рассмотрим в качестве примера важный частный случай. Пусть матрица Aимеет вид , а вектор
. Тогда y – скаляр (y =
), и ковариационная матрица
также вырождается в скаляр, а именно в дисперсию, которую будем обозначать
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины y,пользуясь полученными формулами.
,
.
Перемножив эти два вектора, окончательно получим
Частные случаи:
случайные величины x и h независимы или хотя бы не коррелированы, тогда ;
коэффициенты a = b = 1, то есть случайная величина y есть сумма двух не коррелированных случайных величин x и h, тогда , то есть дисперсия суммы не коррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.