Контрольные задачи к главе 3 «Системы случайных величин»

3.1. Условная плотность распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y, равна . Найти условную дисперсию .

3.2. Непрерывная двумерная случайная величина распределена равномерно в квадрате с вершина и . Найдите вероятность попадания случайного вектора в круг .

3.3. Распределение двумерного вектора задано в таблице:

0,1	0,15	0,2
0,3	0,25	0,15	0,32
0,6	0,1	0,05	0,13

Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение .

3.4. Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид

Найдите постоянную .

3.5. Двумерный случайный вектор распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках , , . Найти условную плотность распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y.

3.6. Задана функция распределения двумерной СВ (X,Y):

Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 0, x = p/4, y = p/6, y = p/3.

3.7. Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид:

Найти постоянную C.

3.8. Условная плотность распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y, равна

Найти условное математическое ожидание .

3.9. Двумерная случайная величина имеет совместную функцию распределения

.

Найти вероятность события .

3.10. Непрерывный двумерный случайный вектор имеет плотность распределения

где – область, определения, ограниченная линиями и . Найдите условную плотность распределения случайной величины , при условии, что случайная величина приняла значение .

3.11. Двумерная случайная величина имеет совместную функцию распределения

Проверьте, являются ли случайные величины и независимыми.

3.12. Задана дискретная двумерная СВ (X,Y):

Y	X
x1 = 2	x2 = 5	x3 = 8
y1 = 0.4	0.15	0.30	0.35
y2 = 0.8	0.05	0.12	0.03

Найти условное значение математического ожидания составляющей Y при условии, что составляющая X приняла значение X = x₂ = 5.

3.13. Дискретные независимые СВ заданы своими распределениями:

X			Y
P	0.2	0.8	P	0.56	0.44

Найти коэффициент вариации величины Z = X + Y.

3.14. Двумерный случайный вектор имеет нормальное распределение с плотностью распределения . Найти условную плотность распределения случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x.

3.15. В круге x²+y²£R² двумерная плотность вероятности вне круга f(x,y) = 0. Найти постоянную С.

3.16. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной СВ (X,Y): . Найти плотность распределения величины Х.

3.17. Функция распределения СВ Х имеет вид F(x) = a – b arctg x. Найти плотность распределения вероятностей, определив постоянные a и b.

3.18. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 12 %, причём среди забракованной по признаку А продукции в 4 % случаев встречается дефект В, а в продукции свободной от дефекта А дефект В встречается в 2% случаев. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.

3.19. Система двух случайных величин подчинена закону распределения с плотностью: . Найти функцию распределения :

3.20.

3.20.Случайные величины Х, У независимы и нормально распределены с параметрами M(X) = M(У) = 0, D(X) = D(У) = 1. Найти вероятность того, что случайная точка (Х, У) попадет в кольцо .

3.21. Найти плотность распределения случайной величины(Х,У), если функция распределения F(x, y) =(1- е ^-2х)(1-е ^-3у) при х³0, у³0.