Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f '' ( x₀ ), то f '' ( x₀ ) = 0.

Билет №29. Асимптоты графика функции

Исследование функции f(x) на минимум и максимум, на точки перегиба облегчают построение графика этой функции. Но кривая y = f(x) может иметь асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближается кривая по мере удаления ее переменной точки в бесконечность.
Поэтому прежде чем построить кривую, нужно провести еще исследование ее уравнения на асимптоты.
Дадим более полное определение асимптоты.

Рисунок 1.

Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).
Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых y обращается в бесконечность, т.е. при которых .
Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a

В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равноd = | x - a |. Когда x ® a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямаяx = a является асимптотой кривой y = f(x)

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда,

когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

MN = MK – NK = y - y_ас = f(x) - (kx+b).

Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k уже известно, то , поэтому .

Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Может случиться, что , а , причем и - конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов или , то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Билет №30. Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Д(f)

2. Исследование функции на непрерывность, т.е. точки разрыва вертикальной асимптоты

3. Нахождение наклонных асимптот

4. Четность, нечетность, периодичность

5. Точки пересечения с осью Ох и Оу

6. Точки экстремума, монотонность

7. Точки перегиба, выпуклость, вогнутость

8. График функции

Билет №31. Формула Тэйлора для многочлена. Формула Тэйлора для произвольной функции. Формула Маклорена