Тема 7: Корреляционно-регрессионный анализ.

Для расчета параметров уравнения регрессии a₀ и а₁ (а₂) (в основном используется линейное уравнение регрессии - для парной регрессии и - для множественной регресии с двумя факторными признаками) применятся метод наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений для парной регрессии:

для множественной регрессии:

;

;

;

В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр а_i показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении i-ого факторного на единицу его собственного измерения.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью средней ошибки каждого параметраа_i – μ_{a i.}

где σ²_ост – остаточная дисперсия

Сопоставляя значение параметра с его средней ошибкой, по значению судят о значимости данного параметра. Если число наблюдений п>20, то параметр считается значимым при t>3. Если п<20, то обращаются к специальным таблицам значений t-критерия Стьюдента (см. Приложение 5). И в данном случае параметр считается значимым при (a; v=n-k-1), где a - уровень значимости, v=n-k-1 – число степеней свободы, k – число факторных признаков в уравнении.

где σ²_y - дисперсия результативного признака;

Адекватность полученной модели можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации: . Ее значение не должно превышать 12 – 15%, в противном случае модель считается неадекватной.

Оценка тесноты связи измеряется различными способами:

· с помощью коэффициента Фихнера, основанного на количестве совпадений и несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от их средних значений:

,

где С – количество совпадений; Н – количество несовпадений.

· при линейной зависимости - с помощью линейного коэффициента корреляции.

или .

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1: - 1 < r < 1.

· при криволинейной зависимости измеряется с помощью эмпирического корреляционного отношения.

где - дисперсия результативного признака;

- факторная дисперсия.

· Коэффициент детерминации, определяемый по формуле: η² = δ² / σ², т.е. корреляционное отношение в квадрате характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную изменчивостью изучаемого фактора.

· Для множественной регрессии тесноту связи можно оценить с помощью множественного коэффициента корреляции R.Если находится зависимость результативного признака только от двух факторных, то множественный коэффициент корреляции можно найти по формуле:

где - парные коэффициенты корреляции (тождественны линейному коэффициенту корреляции).

Наличие мультиколлинеарности признается, если парный коэффициент корреляции между факторными признаками > 0,8.

Задание 14.

Имеются следующие данные по 8 заводам о стоимости основных фондов, х (млн.руб.) и суточная выработка продукции у (тыс.т.):

х	3,0	3,3	3,5	3,7	3,7	4,5	4,5	4,9
у	9,1	10,2	10,0	10,5	10,3	12,9	12,8	13,1

Найти уравнение регрессии у по х; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации; измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, корреляционного отношения, коэффициента детерминации, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла.

Решение:

Найдем уравнение регрессии, использовав уравнение прямой: .

Параметры и можно определить при помощи системы нормальных уравнений, полученной по методу наименьших квадратов:

Промежуточные расчеты показателей представлены в таблице:

	х	у			ху						С/Н
1	3,0	9,1	9,00	82,81	27,3	9,08	0,02	0,002	-2,0	-0,9	С	4,00	0,00
2	3,3	10,2	10,89	104,04	33,66	9,77	0,43	0,044	-0,9	-0,6	С	0,81	0,18
3	3,5	10,0	12,25	100,00	35,00	10,23	-0,23	0,022	-1,1	-0,4	С	1,21	0,05
4	3,7	10,5	13,69	110,25	38,85	10,68	-0,18	0,017	-0,6	-0,2	С	0,36	0,03
5	3,7	10,3	13,69	106,09	38,11	10,68	-0,38	0,036	-0,8	-0,2	С	0,64	0,14
6	4,5	12,9	20,25	166,41	58,05	12,52	0,38	0,030	1,8	0,6	С	3,24	0,14
7	4,5	12,8	20,25	163,84	57,60	12,52	0,28	0,022	1,7	0,6	С	2,89	0,08
8	4,9	13,1	24,01	171,61	64,19	13,43	-0,33	0,025	2,0	1,0	С	4,00	0,11
	31,1	88,9	124,03	1005,05	352,76	88,9	-	0,198	-	-	-	17,15	0,73

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим:

Решив систему уравнений, получим, что и , следовательно уравнение регрессии примет вид: .

Проверим полученное уравнение связи на адекватность при помощи средней ошибки аппроксимации: (промежуточные расчеты смотри в таблице выше).

Так как полученная средняя ошибка аппроксимации , то модель можно считать адекватной, т.е. уравнение связи подобрано удачно.

Измерим тесноту зависимости между признаками:

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным.

a	b	a + b
c	d	c + d
a + c	b + d	a + b + c + d

Коэффициенты вычисляются по формулам:

ассоциации: ;

контингенции: .

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если К_а > 0.5 или К_k > 0.3.

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, которые вычисляются по следующим формулам:

,

где j² – показатель взаимной сопряженности;

j² – определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:

,

где К₁ – число значений (групп) первого признака;

К₂ – число значений (групп) второго признака;

п_х , п_у - итоги по строкам и столбцам соответственно;

п_ху - значения признаков в ячейках таблицы.

Также коэффициенты Пирсона и Чупрова могут рассчитываться с использованием величины , где n – число наблюдений.

; ,

Чем ближе величины К_П и К_Ч к 1, тем связь теснее.

Ранговые коэффициенты корреляции.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

,

где - квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

При наличии связанных рангов расчеты производятся по следующим формулам:

где , t_j – количество связных рангов.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (τ) рассчитывается по формуле

,

где n – число наблюдений; S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания, переставляются в том же порядке;

2) значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х;

3) для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;

4) для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком «минус»;

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Если в изучаемой совокупности есть связанные ранги, то расчеты необходимо проводить по следующей формуле:

,

где .

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:

,

где m – количество факторов; n – число наблюдений;

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

В случае наличия связанных рангов коэффициент конкордации определяется по формуле:

,

где .

В большинстве случаев теснота связи может быть оценена по шкале тесноты связи:

Шкала тесноты связи

Значение коэффициентов корреляции	Характер связи
	Связь практически отсутствует
	Слабая связь
	Умеренная связь
	Сильная связь

Задача 93.

Имеются следующие данные по 8 заводам о стоимости основных производственных фондов, х (млн. руб.) и суточная выработка продукции у (тыс. т.):

х	3,0	3,3	3,5	3,7	3,7	4,5	4,5	4,9
у	9,1	10,2	10,0	10,5	10,3	12,9	12,8	13,1

Необходимо выполнить:

1) Найти уравнение регрессии у по х;

2) определить значимость его параметров; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации;

3) измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, теоретического корреляционного отношения, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла.

4) Найти коэффициент эластичности; сделать выводы.

Задача 94.

За отчетный период имеются следующие данные о розничном товарообороте и издержках обращения по магазинам:

Магазин, № п/п	Объем розничного товарооборота, млн. руб.	Издержки обращения, млн. руб.
	20,1	1,62
	59,1	3,74
	82,5	4,66
	47,1	3,90
	24,5	1,51
	39,0	2,70
	51,1	3,09
	40,6	2,96
	64,2	4,47
	42,5	3,72

С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла измерить тесноту связи между данными признаками.

Задача 95.

Имеются данные по 10 хозяйствам о количестве внесенных минеральных удобрений под зерновыми, х (кг/га) и об урожайности зерновых у (ц/га).

х
у	13,5	14,0	14,0	14,3	14,0	15,0	18,2	15,0	17,0	20,0

С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла измерить тесноту связи между х и у.

Задача 96.

На основе опроса 400 работников коммерческих структур и 400 работников бюджетных организаций получено следующее их распределение по ответам на вопрос, довольны ли они своей заработной платой:

Работающие	Довольные з/п	Недовольные з/п	Итого
В коммерческих структурах
В бюджетных организациях
Итого работников

С помощью критерия Пирсона c² определить, случайно или нет данное распределение. Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции.

Задача 97.

Имеются следующие данные по Северо-западному району РФ за 1995г:

Область	Урожайность зерновых, ц/га	Урожайность картофеля, ц/га	Надой молока на 1 корову, кг
Ленинградская	18,5
Архангельская	13,4
Псковская	14,1
Вологодская	15,3

С помощью коэффициента конкордации определить, согласуется ли "рейтинг" областей по всем показателям.

Задача 98.

Имеются следующие данные о распределении 200 молочных ферм области по производительности труда и себестоимости молока:

Производительность   себестоимость	Высокая	Средняя	Низкая	Итого
Высокая
Средняя
Низкая
Итого

С помощью критерия c² проверить, случайно ли данное распределение, т.е. существует ли зависимость между производительностью труда и себестоимостью молока.

Измерить тесноту зависимости между показателями с помощью критериев взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

Задача 99.

Имеются следующие данные о работе 10 банках (млн.руб.):

№	Капитал	Суммарные обязательства	Прибыль

1) Определить линейное уравнение множественной регрессии (капитал, суммарные обязательства – факторные признаки, прибыль - результативный);

2) Оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации.

3) Оценить тесноту связи между признаками с помощью множественного коэффициента корреляции, коэффициента конкордации;

4) Определить наличие мультиколлинеарности.

Задача 100.

Распределение основных категорий потенциальных мигрантов по уровню образования представлено в таблице:

образование	Основные категории потенциальных мигрантов	Итого
Руково-дители	Специа-листы	Служащие	Рабочие
Высшее
Неполное высшее
Среднее специальное
Среднее общее
Неполное среднее
итого

С помощью χ²-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы.

Приложения

Приложение 1

Значения плотности φ(t) вероятности для нормированного нормального
закона распределения φ(t)=φ(-t)
t
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2561	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1571	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0743	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0203	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
4,0	0,0001	0,0001	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
Приложение 2 Значения χ2-критерия Пирсона при уровне значимости 0,10, 0,05, 0,01
к	0,10	0,05	0,01	к	0,10	0,05	0,01
	2,71	3,84	6,63		28,41	31,41	37,57
	4,61	5,99	9,21		29,62	32,67	38,93
	6,25	7,81	11,34		30,81	33,92	40,29
	7,78	9,49	13,28		32,01	34,17	41,64
	9,24	11,07	15,09		33,20	36,42	42,98
	10,64	12,59	16,81		34,38	37,65	44,31
	12,02	14,07	18,48		35,56	38,89	45,64
	13,36	15,51	20,09		36,74	40,11	46,96
	14,68	16,92	21,67		37,92	41,34	48,28
	15,99	18,31	23,21		39,09	42,56	49,59
	17,28	19,68	24,72		40,26	43,77	50,89
	18,55	21,03	26,22		51,80	55,76	63,69
	19,81	22,36	27,69		63,17	67,50	76,15
	21,06	23,68	29,14		74,40	79,08	88,38
	22,31	25,00	30,58		85,53	90,53	100,42
	23,54	26,30	32,00		96,58	101,88	112,33
	24,77	27,59	33,41		107,56	113,14	124,12
	25,99	28,87	34,81		118,50	124,34	135,81
Значения функции Р(λ) λ Р λ Р 0,30 1,0000 1,10 0,1777 0,35 0,9997 1,20 0,1122 0,40 0,9972 1,30 0,0681 0,45 0,9874 1,40 0,0397 0,50 0,9639 1,50 0,0222 0,55 0,9228 1,60 0,0120 0,60 0,8643 1,70 0,0062 0,65 0,7920 1,80 0,0032 0,70 0,7112 1,90 0,0015 0,75 0,6272 2,00 0,0007 0,80 0,5441 2,10 0,0003 0,85 0,4653 2,20 0,0001 0,90 0,3927 2,30 0,0001 0,95 0,3275 2,40 0,0000 1,00 0,2700 2,50 0,0000 19	27,20	30,14	36,19

Приложение 4 Значение коэффициента доверия в зависимости от вероятности t P 1,0 0,683 1,5 0,866 1,96 0,950 2,0 0,954 2,5 0,988 2,58 0,990 3,0 0,997 3,5 0,999

Приложение 3

Приложение 5

Распределение Стьюдента (t -распределение)

v	α = 0,05	v	α = 0,05
	12,706		2,101
	4,303		2,093
	3,182		2,066
	2,776		2,080
	2,571		2,074
	2,447		2,069
	2,365		2,064
	2,306		2,060
	2,262		2,056
	2,228		2,052
	2,201		2,048
	2,179		2,045
	2,160		2,042
	2,145		2,021
	2,131		2,000
	2,120		1,980
	2,110	∞	1,960

Приложение 6

Значение критерия Дурбина-Ватсона при 5%-ном уровне значимости
п	v = 1	v = 2	v = 3
d1	d2	d1	d2	d1	d2
	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75
	1,10	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73
	1,13	1,38	1,02	1,54	0,90	1,71
	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69
	1,18	1,40	1,08	1,53	0,97	1,68
	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68
	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65
	1,50	1,59	1,46	1,63	1,42	1,67

Приложение 7

Критические значения коэффициентов автокорреляции при уровнях значимости 0,05 и 0,01
n	положительные значения	отрицательные значения
α = 0,05	α = 0,01	α = 0,05	α = 0,01
	0,253	0,297	-0,753	-0,798
	0,345	0,447	-0,708	-0,863
	0,370	0,510	-0,674	-0,799
	0,371	0,531	-0,625	-0,764
	0,366	0,533	-0,593	-0,737
	0,360	0,525	-0,564	-0,705
	0,353	0,515	-0,539	-0,679
	0,348	0,505	-0,516	-0,655
	0,341	0,495	-0,497	-0,634
	0,335	0,485	-0,479	-0,615
	0,328	0,475	-0,462	-0,597
	0,299	0,432	-0,399	-0,524

Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Общая теория статистики».

1. История статистики.

2. Основные понятия теории статистики.

3. Категории статистики.

4. Методы статистики. Общегосударственная статистика.

5. Статистическое наблюдение (программно – методологические и организационные вопросы).

6. Формы, виды и способы статистического наблюдения.

7. Понятие выборочного наблюдения, отбор единиц в выборочную совокупность.

8. Ошибки выборки.

9. Определение численности выборки.

10. Сводка и группировка статистических данных (основные понятия).

11. Этапы группировки. Ряды распределения.

12. Статистические таблицы.

13. Статистические графики.

14. Понятие абсолютных и относительных величин в статистике.

15. Виды и взаимосвязи относительных величин.

16. Средние величины. Степенные средние.

17. Структурные средние.

18. Показатели вариации.

19. Моменты распределения. Показатели асимметрии и эксцесса.

20. Ряды динамики. Классификация.

21. Показатели анализа рядов динамики.

22. Структура ряда динами. Проверка ряда на наличие тренда.

23. Методы выделения тренда.

24. Анализ сезонных колебаний.

25. Выравнивание вариационных рядов. Нормальный закон распределения.

26. Выравнивание вариационных рядов. Закон распределения Пуассона.

27. Критерии согласия. Критерий Пирсона.

28. Критерии согласия. Критерий Романовского.

29. Критерии согласия. Критерий Колмогорова.

30. Понятие индекса. Индивидуальные индексы.

31. Сводные индексы в агрегатной форме цен, товарооборота, физического объема реализации.

32. Индексы себестоимости, физического объема продукции, затрат на производство.

33. Сводные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах.

34. Индексы постоянного и переменного состава.

35. Территориальные индексы.

36. Понятие связи, типы связей, понятие корреляции и регрессии.

37. Метод приведения параллельных данных. Парная регрессия.

38. Множественная регрессия.

39. Оценка адекватности модели.

40. Оценка существенности корреляции.

41. Методы изучения связи социальных явлений.

42. Понятие рангов. Ранговые коэффициенты Спирмена.

43. Ранговые коэффициенты Кендалла. Коэффициент конкордации.

1 См.: Овсиенко В.Е. Выбор формы средней и о некоторых ошибках, допускаемых в этом вопросе // Вестник с