Тема 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Методические указания

Виды связей между признаками

Существующие между признаками связи принято классифицировать на функциональные (жёстко детерминированные) и статистические (стохастически детерминированные).

Связь признака у с признаком х называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака х соответствует одно или несколько строго определённых значений зависимого признака у.

Функциональную связь можно представить уравнением:

,

где y_i – результативный признак;

– известная функция связи результативного и факторного признаков;

– факторный признак.

Стохастическая связь — это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины x или других величин x₁, x₂, …, x_n (случайных или неслучайных).

В случае корреляционной связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин x₁, x₂, …, x_n .Такая связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом, и только при достаточно большом количестве наблюю-дений становится очевидным, вызывает ли изменение значений случайного признака х изменение распределения средних величин случайного признака у . Корреляционная связь является частным случаем стохастической связи.

На первом этапе корреляционно-регрессионного анализа устанавливается факт наличия связи и её форма. На втором этапе измеряется теснота связи и проводится оценка её существенности. На заключительном этапе – построение модели связи (уравнения регрессии).

Измерение тесноты связи

Для установления факта наличия связи и её формы используют различные методы.

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции (r). При любой форме зависимости (линейной или криволинейной) рассчитывается эмпирическое корреляционное отношение ( ).

Линейный коэффициент корреляции рассчитывается следующим образом:

или

где – отклонения вариантов признака-фактора от их средней величины;

– отклонения вариантов значений результативного признака от их средней величины;

– число единиц в совокупности;

– среднее квадратическое отклонение соответственно признака-фактора и результативного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле

где – межгрупповая дисперсия результативного признака, вызванная влиянием признака-фактора.

– общая дисперсия результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак при этом указывает на направление связи: «+» говорит о прямой связи, «–» – об обратной. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1; чем ближе значение к 1, тем теснее связь, направление связи оно не показывает.

Оценка существенности линейного коэффициента корреляции при большом объёме выборки свыше 500 проводится с использованием t-критерия Стьюдента, который представляет собой отношение отношения коэффициента корреляции (r) к его средней квадратической ошибке ( ):

,

где .

При недостаточно большом объёме выборки величина средней квадратической ошибки коэффициента корреляции определяется по формуле

.

Уравнение регрессии

Если это отношение окажется больше значения t-критерия Стьюдента, определяемого по Приложению 5 при числе степеней свободы k = n – 2 и с вероятностью (1 – a) , то следует говорить о существенности коэффициента корреляции при уровне значимости а = 0,01 или 0,05.

Квадрат коэффициента корреляции r² называется коэффициентом детерминации и показывает, на сколько процентов вариация результативного признака обусловлена вариацией признака-фактора.

После установления достаточной степени тесноты связи выполняется построение модели связи (уравнения регрессии). Тип модели выбирается на основе сочетания теоретического анализа и исследования эмпирических данных посредством построения эмпирической линии регрессии. Чаще всего используются следующие типы функций:

1) линейная ;

2) гиперболическая ;

3) параболическая ;

4) показательная .

Для определения численных значений параметров уравнения связи (линии регрессии) используется метод наименьших квадратов и решается система нормальных уравнений.

Для определения параметров уравнения прямолинейной корреляционной связи система нормальных уравнений (для несгруппированных данных) имеет вид:

Параметры а и b можно определить и по следующим формулам

; .

Для проверки возможности использования линейной функции в качестве модели связи определяется разность (ŋ²−r²). Если она менее 0,1, то считается возможным применение линейной функции. Для решения этой же задачи можно использовать величину ω², определяемую по формуле

,

где m − число групп, на которое разделён диапазон значений факторного признака.

Если ω² окажется меньше табличного значения F-критерия, то нулевая гипотеза о возможности использования в качестве уравнения регрессии линейной функции не опровергается. Значение F – критерия определяется по таблице в зависимости от уровня значимости а = 0,05 (вероятность Р = 0,95) и числа степеней свободы числителя (k₁ = m−2) и знаменателя (k₂ = n–m) (приложение В).

В качестве меры достоверности уравнения корреляционной зависимости используется процентное отношение средней квадратической ошибки уравнения S_e к среднему уровню результативного признака :

; ,

где y − фактические значения результативного признака;

− значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии;

l − число параметров уравнения регрессии.

Если это соотношение не превышает 10 − 15%, то следует считать, что уравнение регрессии достаточно хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.

Решение типовых задач

Пример 7.1

Известны следующие данные о величине оборотного капитала и прибыли по группе предприятий торговли.

№ п/п	Оборотный капитал, тыс. руб.	Прибыль, тыс. руб.	№ п/п	Оборотный капитал, тыс. руб.	Прибыль, тыс. руб.

На основе приведённых данных: 1) определим тесноту связи между оборотным капиталом и прибылью и дадим оценку существенности линейного коэффициента корреляции; 2) построим уравнение регрессии и оценим возможность использования линейной функции.

Решение

1. Факторный признак – величина оборотного капитала (x); результативный признак – прибыль (y).

Предполагая, что зависимость между оборотным капиталом и прибылью имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Данные для расчёта приведены во вспомогательной таблице 1:

Вспомогательная таблица 1

№ п/п	Оборот-ный капитал, тыс. руб. (х)	При-быль, тыс. руб. (у)	x2	y2	xy
						143,6	-16,6	275,56
						104,4	-18,4	338,56
						180,4	3,6	12,96
						94,0	-12	144,00
						152,4	-15,4	237,16
						108,8	1,2	1,44
						213,6	-20,6	424,36
						182,8	7,2	51,84
						212,8	-28,8	829,44
						196,4	-7,4	54,76
						155,6	-20,6	424,36
						190,4	-15,4	237,16
						112,4	2,6	6,76
						224,4	-14,4	207,36
						185,6	-16,6	275,56
						228,4	-13,4	179,56
						263,6	0,4	0,16
						260,8	-19,8	392,04
						230,4	4,6	21,16
						161,2	5,8	33,64
						222,8	52,2	2724,84
						189,2	-32,2	1036,84
						176,8	-12,8	163,84
						267,6	46,4	2152,96
						273,6	12,4	153,76
Итого						93731,14		10380,08

Линейный коэффициент корреляции составит:

Значение линейного коэффициента корреляции 0,95 свидетельствует о прямой и тесной связи между величиной оборотного капитала и прибылью предприятий торговли.

Чтобы это утверждать, дадим оценку существенности линейного коэффициента корреляции на основе расчёта t-критерия Стьюдента:

Показатель t_табл находим по таблицам Стьюдента (приложение Б).

Для числа степеней свободы К = n−2=25−2=23 и уровня значимости 1% t_табл = 2,797; 14,591 > 2,797.

Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать существенность коэффициента корреляции.

2. В случае линейной связи параметры уравнения регрессии определяются следующим образом:

; .

Используя данные таблицы 1, рассчитаем среднее значение факторного и результативного признака, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Среднее значение факторного признака:

тыс. руб.

Дисперсия факторного признака:

.

Среднее квадратическое отклонение факторного признака:

тыс. руб.

Среднее значение результативного признака:

тыс. руб.

Дисперсия результативного признака:

.

Среднее квадратическое отклонение результативного признака:

руб.

Теперь можем определить параметры уравнения регрессии:

;

.

Подставим значения параметров в уравнение регрессии:

.

Коэффициент регрессии b = 0,4 говорит о том, что при увеличении оборотного капитала на 1 тыс. руб. прибыль в среднем возрастет на 0,4 тыс. руб., или на 400 руб.

Возможность использования линейной функции может быть оценена на основе величины:

,

где m − число групп, на которое разделен диапазон значений факторного признака.

Для расчёта ω² необходимо исчислить эмпирический коэффициент детерминации:

Для определения межгрупповой дисперсии произведём группировку по факторному признаку и выполним вспомогательные расчёты (таблица 2).

Таблица 2 – Группировка предприятий по величине оборотного капитала

№ п/п	Оборотный капитал, тыс. руб.	Число предприятий	Середина интервала (Xi)	Прибыль в среднем на одно предприятиe
	510 − 600			98,25
	600 − 690			141,5
	690 − 780			175,43
	780 − 870			218,67
	870 − 960			276,25

Межгрупповая дисперсия:

Тогда эмпирический коэффициент детерминации оставит:

.

Значение эмпирического коэффициента детерминации говорит о том, что на 87,6% вариация прибыли в этой совокупности предприятий обусловлена вариацией оборотного капитала и на 12,4% – вариацией прочих неучтенных факторов.

Тогда составит:

.

При уровне значимости а = 0,05 (вероятность Р=0,95), и числа степеней свободы числителя 3 (k₁= m -2 = 5 - 2 = 3 ), и знаменателя 20 (k₂ = n – m = 25-5 = 20) (приложение В) F_табл= 3,10. Так как ω² меньше табличного значения F-критерия, то нулевая гипотеза о возможности использования в качестве уравнения регрессии линейной функции не опровергается.

В качестве меры достоверности уравнения корреляционной зависимости используется процентное отношение средней квадратической ошибки уравнения S_e к среднему уровню результативного признака :

; ,

где у − фактические значения результативного признака;

− значения результативного признака, рассчитанные по уравнению

регрессии;

l — число параметров уравнения регрессии.

Теоретические значения по уравнению регрессии находим следующим образом: фактическое значение х = 634 тыс. руб. подставляем в уравнение регрессии = −110 + 0,4x => = −110+0,4х∙634 = 143,6; для остальных значений оборотного капитала расчёт теоретических значений величины прибыли производится аналогично. Вспомогательные расчёты для определения средней квадратической ошибки уравнения регрессии приведены в таблице 1.

Полученное соотношение не превышает 15%, а это значит, что уравнение регрессии достаточно хорошо отображает изучаемую взаимосвязь и может быть использовано для прогнозов.