Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска

При тангенсе угла наклона граничных прямых, отличного от 1, шаг граничных прямых по горизонтали и по вертикали будет различаться. Обозначим шаг по вертикали как d, шаг по горизонтали как g, при этом их отношение выражается через тангенс угла наклона:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru .  

На рисунке 5.7 показан фрагмент координатной плоскости, где тангенс угла θ наклона граничных прямых равен (–2). При этом шаг прямых по горизонтали равен g, а по вертикали d = 2g.

Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru

Рисунок 5.7 – Фрагмент координатной плоскости, tgθ = (–2)

С учетом принятого допущения о центральной симметрии поля ячеек, возьмем квадратную ячейку (a = b), лежащую в области допустимого риска, вершина одного из углов которой находится на прямой, разделяющей области значений допустимого и нежелательного риска (на рисунке 5.7 показана пунктиром). Если увеличивать размер ячейки, сохраняя положение указанной вершины угла, то при некотором значении ее ширины b она окажется разделенной пополам (см. рисунок 5.7). Такая ситуация будет соответствовать b = 4g/3. Очевидно, что дальнейшее увеличение размера ячейки недопустимо, поскольку не будет выполняться «условие слабой согласованности» [5], то есть в матрице рисков c ячейками такого размера категория соседних ячеек может отличаться более чем на 1 уровень (например, рядом с «зеленой» ячейкой может оказаться «оранжевая»). Вышеизложенное справедливо для принятого тангенса угла наклона.

Следует отметить, что в данном рассмотрении величины a, b, d, g являются логарифмами количественных значений, что будет учтено при построении матрицы рисков и переходе к количественным оценкам в последующих разделах настоящих МР.

Проведенный анализ показал, что для обеспечения цикличности разбиения ячеек требуется, чтобы граничные прямые разделяли ячейки, проходя через их угол. Это выполняется, если шаг g прямых по горизонтали кратен ширине b ячейки, отнесенной к модулю тангенса угла γ:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru , где i = 1, 2, 3, …. (4)

Из условия b < 4g/3 следует, что g > 0,75b. Тогда, с учетом предыдущей формулы (4) для |tgγ| = 2 допустимы следующие соотношения: g/b = 1; 1,5; 2; 2,5… Однако отношение g/b ограничено не только снизу, но и сверху, поскольку количество ячеек в матрице является конечным и при большом g/b не будет выполняться условие охвата полем ячеек всех областей значений риска.

Отношение g/b представляет собой согласующий коэффициент, который связывает масштаб системы координат с масштабом ячейки. Этот параметр является важным при построении матрицы рисков. Для дальнейшего использования введем обозначение μ для согласующего коэффициента:



  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru . (5)

В результате анализа установлено, что максимальное значение μ, при котором в матрице размерностью m x n представлено заданное количество N категорий риска для |tgγ| > 1 определяется выражением:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru (6)

Таким образом, если, например, максимально возможная размерность матрицы рисков составляет 8 x 8, то при |tgγ| = 2 и количестве категорий риска N = 4 получим максимально возможное значение μ = 5. Поскольку на практике матрицы рисков размерностью более 8 x 8 не удобны для применения, можно для дальнейшего рассмотрения принять ограничение μ ≤ 5.

Таким образом, получаем следующие ограничения согласующего коэффициента: 1 ≤ μ ≤ 5.

Анализ также показал, что при |tgγ| = 2 вероятность p принадлежности любой точки риска в матрице требуемой области подчиняется закону:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru .  

Для значений μ в диапазоне от 1 до 5 график зависимости p от μ будет иметь вид, показанный на рисунке 5.8. Фактически, p выражает достоверность оценки риска в матрице, построенной на базе системы координат с заданным отношением μ. Погрешность матрицы будет соответствовать значению 1–p.

Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru

Рисунок 5.8 – Зависимость вероятности p принадлежности любой точки риска в матрице требуемой области значений риска от согласующего коэффициента μ.

Из графика на рисунке 5.8 следует вывод о том, что погрешность матрицы рисков снижается при увеличении μ. Однако применение больших значений μ требует увеличения размерности поля ячеек матрицы рисков, а, следовательно, увеличения количества интервалов значений частот и последствий. Слишком большое количество интервалов усложняет использование матрицы рисков при поддержке принятия решений.

К тому же, при μ > 3 снижение погрешности уже не является существенным, поэтому применение μ > 3 ради повышения точности оценки риска нецелесообразно.

Следует отметить, что от μ также зависит соотношение площадей сегментов, принадлежащих различным областям значений риска.

Рассмотрим случай отношения μ = 1. При этом минимальная размерность матрицы при |tgγ| = 2, в соответствии с формулой (6), будет равна 4 x 2. На рисунке 5.9 приведен фрагмент системы координат с наложением поля ячеек размерностью 8 x 8. Кружком обозначен центр симметрии поля ячеек. Из данного поля можно выделить участок любой размерности m ≤ 8, n ≤ 8, где m и n – четные, и для выделенной структуры оценить соотношение площадей сегментов, принадлежащих различным областям значений риска. Выше говорилось о том, что при центральной симметрии поля ячеек площади двух крайних и двух средних сегментов будут попарно равны. На рисунке 5.9 области значений риска условно пронумерованы (1 – область значений риска, не принимаемого в расчет, 2 – область значений допустимого риска, 3 – область значений нежелательного риска, 4 – область значений недопустимого риска) и все ячейки обозначены числовым кодом. Если числовой код состоит из одной цифры, то он обозначает условный номер области, в которой данная ячейка находится целиком. В обозначениях из двух цифр первая цифра показывает номер области, где лежит большая часть площади ячейки, вторая – номер области, где лежит меньшая часть площади ячейки. При этом при |tgγ| = 2 для всех ячеек с кодом из двух цифр доля сегмента с меньшей площадью составляет 0,25.

Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru

Рисунок 5.9 – Структура для определения соотношения площадей сегментов (μ = 1)

Для оценки соотношения площадей сегментов необходимо для заданной размерности центрально симметричной матрицы посчитать количество ячеек по каждому числовому коду. Например, для выделенной рамкой области 4 x 2 имеем: n1 = 0; n12 = 1; n21 = 1; n2 = 0; n23 = 2; n32 = 2; n3 = 0; n34 = 1; n43 = 1; n4 = 0;

Поскольку для |tgγ| = 2 разделяемые ячейки имеют соотношение площадей сегментов 0,75:0,25, то площадь S каждого из сегментов 1…4 заданной матрицы, выраженную в количестве ячеек, можно найти по формулам:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru ; Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru ; Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru ; Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru .  

Подставив числовые значения, представленные выше, получим: S1 = 1; S2 = 3; S3 = 3; S4 = 1.

Анализ структуры на рисунке 5.9 показал, что, поскольку матрица центрально симметрична, то n1 = n4; n2 = n3; n12 = n43; n21 = n34; n23 = n32; S1 = S4; S2 = S3. В таком случае можно ограничиться вычислением S1 и S2, упростив формулу расчета S2:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru ; Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru .  

Аналогичные структуры для определения соотношения площадей сегментов, где μ = 1,5 и μ = 2 представлены на рисунках 5.10 и 5.11 соответственно.

Отношение S2 / (S1+S2) показывает долю области ALARP в общей площади поля ячеек матрицы рисков. Результаты оценки данного соотношения для различных размерностей и μ = 1; 1,5; 2 представлены в таблице 5.3.

Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru

Рисунок 5.10 – Структура для определения соотношения площадей сегментов (μ = 1,5)

Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru

Рисунок 5.11 – Структура для определения соотношения площадей сегментов (μ = 2)

Таблица 5.3 – Результаты оценки доли области ALARP в общей площади поля ячеек матрицы рисков

Размерность матрицы μ n1 n12 n21 n2 n23 S1 S2 S2 / (S1+S2)
4 x 2 0,75
4 x 4 0,5
6 x 2 2,25 3,75 0,625
6 x 4 6,25 5,75 0,4792
6 x 6 0,3333
8 x 2 0,5
8 x 4 0,4375
8 x 6 0,3333
8 x 8 0,25
4 x 4 1,5 2,25 5,75 0,71875
6 x 2 0,8333
6 x 4 0,6667
6 x 6 0,5
8 x 2 2,25 5,75 0,4792
8 x 4 6,25 9,75 0,6094
8 x 6 12,25 11,75 0,4896
8 x 8 0,375
4 x 4 0,875
6 x 4 2,25 9,75 0,8125
6 x 6 6,25 11,75 0,6528
8 x 2 0,875
8 x 4 0,75
8 x 6 0,625
8 x 8 0,5

При увеличении размерности матрицы доля области ALARP уменьшается, в матрице начинают преобладать ячейки зеленого и красного цвета.

При увеличении μ доля области ALARP в матрице увеличивается.

Для наибольшей наглядности матрицы целесообразно рекомендовать, чтобы доля области ALARP составляла 0,48…0,68 от общей площади поля ячеек.

Следует отметить, что структуры, изображенные на рисунках 5.9, 5.10 и 5.11, позволяют при заданном значении μ выполнить оценку погрешности для любой матрицы с использованием следующего выражения:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru .  

Погрешность только для зоны ALARP можно оценить по формуле:

  Влияние соотношения размера ячейки и шага граничных прямых на точность представления уровня риска - student2.ru .  

Последнее выражение не учитывает ячейки, расположенные полностью в областях 1 и 4 (в «зеленой» и «красной» областях), поскольку при увеличении размерности матрицы их доля в поле ячеек быстро возрастает.

Для конфигураций матриц, представленных в таблице 5.3, рассчитанные относительные погрешности δ и δA оценки риска приведены в таблице 5.4.

Таблица 5.4 – Результаты оценки погрешности матриц рисков

Размерность матрицы μ n1 n12 n21 n23 δ δA
4 x 2 0,25 0,25
4 x 4 0,1875 0,25
6 x 2 0,2083 0,25
6 x 4 0,1667 0,25
6 x 6 0,125 0,25
8 x 2 0,1875 0,25
8 x 4 0,15625 0,25
8 x 6 0,125 0,25
8 x 8 0,09375 0,25
4 x 4 1,5 0,15625 0,1786
6 x 2 0,1667 0,1667
6 x 4 0,1458 0,175
6 x 6 0,125 0,1875
8 x 2 0,15625 0,1786
8 x 4 0,1406 0,2813
8 x 6 0,1146 0,1833
8 x 8 0,09375 0,1875
4 x 4 0,125 0,125
6 x 4 0,125 0,136
6 x 6 0,1111 0,1429
8 x 2 0,125 0,125
8 x 4 0,125 0,1429
8 x 6 0,1042 0,1389
8 x 8 0,09375 0,15

Исходя из обеспечиваемых различными конфигурациями матрицы точностей, целесообразно рекомендовать, чтобы погрешность оценки риска в зоне ALARP составляла не более 0,19 (19%).

Выводы

Для практического применения поле ячеек слишком малой размерности (где m или n равны 2) мало пригодно из-за малого количества степеней свободы в области частот или последствий. Поле ячеек большого размера (где m или n более 8) также не является лучшим решением, поскольку его восприятие усложнено большим количеством комбинаций интервалов частот и последствий. Соотношение m/n, значительно отличающееся от 1, создает дисбаланс между реализуемыми диапазонами значений частот и последствий. Таким образом, для практического применения самыми приемлемыми являются размерности 4 x 4, 6 x 4, 6 x 6, 8 x 4, 8 x 6 и 8 x 8.

Применение отображения поля ячеек на систему координат, где μ = 1 обеспечивает наихудшую погрешность оценки риска. Поэтому рекомендуется выбирать μ = 1,5 или μ = 2. Значения μ > 2 требуют построения поля ячеек больших размерностей (более 8 x 8), поэтому их применение ограничено.

Из сочетаний рекомендуемых размерностей наилучшее соотношение доли области ALARP имеют следующие: 6 x 4 (μ = 1,5); 6 x 6 (μ = 1,5); 8 x 4 (μ = 1,5); 8 x 6 (μ = 1,5); 6 x 6 (μ = 2); 8 x 6 (μ = 2); 8 x 8 (μ = 2).

Допущение 7 – Настоящими МР для практического применения рекомендуются следующие размерности и коэффициенты согласования масштаба: 6 x 4 (μ= 1,5); 6 x 6 (μ= 1,5); 8 x 4 (μ= 1,5); 8 x 6 (μ= 1,5); 6 x 6 (μ= 2); 8 x 6 (μ= 2); 8 x 8 (μ= 2).

Наши рекомендации