О мощности множеств действительных чисел

В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [a, b] равномощны. Доказать это нетрудно: взаимно однозначное соответствие [0, 1] [a, b] может быть установлено функцией Y = (b - a) • X + a. Если X = 0, то Y = a; если X = 1, то Y = b, откуда, если
0≤ X ≤ 1, то a ≤ Y ≤ b (рис. 10).

Рис. 10

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рис. 11 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рис. 12).

Рис. 11 Рис. 12

На отрезке [0, 1] каждому числу вида (n-1)/n: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т.д. ставится в соответствие следующее число этой последовательности. На отрезке [1, 2] соответствие симметрично: последовательность имеет вид (n+1)/n: 2, 3/2, 4/3, 5/4... Всем остальным числам отрезка [0, 2] ставятся в соответствие они сами. Концы интервала не соответствуют при этом ни одной точке отрезка.

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А ~ В).

Теорема. Пусть А и В - два множества, А¢, В¢ - их подмножества: А¢ Í А, В¢ Í В. Пусть каждое из множеств А, В эквивалентно подмножеству другого: А ~ В¢, А¢ ~ В. Тогда А ~ В, т.е. множества эквивалентны.

Для любого отрезка и любого интервала отсюда следует их эквивалентность (рис. 13).

Рис. 13

Рис. 14 иллюстрирует равномощность интервала и множества точек всей прямой.

Рис. 14

Приложение 3

Двоичный 5-мерный куб

Рис. 15

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:

2. Решить задачи 1–10.

Для выполнения работы необходимо определить и записать в таблицу К1 значения переменных а₁- а₄₂(нули и единицы), исходя из следующих параметров:

F – первая буква фамилии,

N – первая буква имени, Впишите свои параметры в табличку:

F =

N =

S =

S – число букв в фамилии.

(Пример. Евгений Онегин: F = О, N = Е, S = 6.)

Таблица К1

а1

а2

а3

а4

а5

а6

а7

а8

а9

а10

а11

а12

а13

а14

а15

а16

а17

а18

а19

а20

а21

а22

а23

а24

а25

а26

а27

а28

а29

а30

а31

а32

а33

а34

а35

а36

а37

а38

а39

а40

а41

а42

Алгоритм заполнения таблицы К1. Значения а₁ - а₄₂выбираются из внутреннего кольца круговой диаграммы (рис. 1), разделенной на 28 секторов, которые обозначены буквами от А до Я (во внешнем кольце) и одновременно числами от 1 до 28 (в среднем кольце). Буква Ё считается совпадающей с Е; Й и Ы – совпадающими с И.

Рис. 1

Выбор значений а₁ - а₄₂производится по следующему правилу:

а₁ - а₁₄– 14 чисел (нулей и единиц) подряд по часовой стрелке, начиная с позиции F;

а₁₅- а₂₈– 14 чисел подряд по часовой стрелке, начиная с позиции N;

а₂₉- а₄₂– 14 чисел подряд против часовой стрелки, начиная с позиции S;

Пример заполнения таблицы К1 для F = О, N = Е, S = 6:

а1

а2

а3

а4

а5

а6

а7

а8

а9

а10

а11

а12

а13

а14

а15

а16

а17

а18

а19

а20

а21

а22

а23

а24

а25

а26

а27

а28

а29

а30

а31

а32

а33

а34

а35

а36

а37

а38

а39

а40

а41

а42

В каждой из нижеследующих задач (1–10) определенным образом осуществляется выбор переменных 0, 1 из заполненной таблицы К1; из этих цифр составляются многозначные двоичные числа, которые затем используются в качестве параметров (в виде двоичных чисел или переводятся в десятичную систему). Правильное выполнение этих арифметических операций наряду с правильным исполнением инструкции в условии задачи, является неотъемлемой частью решения. К задачам 1, 4, 8, 9 приведены примеры решения.

Задача 1.Перевести в десятичную систему четырехзначное двоичное число А₂= а₁а₂а₃ а₄и трехзначное двоичное число В₂= а₅а₆а₇. Вычислить число С₁₀= (A + 5) · (23 – А) + В. Перевести число С₁₀в двоичную систему. В полученном числе С₂зачеркнуть две последние цифры и перевести результат – двоичное число D₂– в десятичную систему.

Пример.Возьмем данные из примера заполнения табл. К1.

Задача 2.Двоичные числа a = a₁₁a₁₂, b = a₁₃a₁₄,c = a₁₅ a₁₆a₁₇ a₁₈a₁₉, d = a₂₀ a₂₁ (a, b, d–двузначные,c – пятизначное) перевести в десятичную систему. Изобразить на числовой прямой отрезок K = [a, a+b+14] и интервал L= (c, c+d+18), а также множества K∩ L, KÈ L, K \ L, L \ K.

Перевести в десятичную систему пятизначные двоичные числа E= a₂₂a₂₃a₂₄a₂₅a₂₆и
F = a₂₇ a₂₈ a₂₉ a₃₀ a₃₁. Заполнить таблицу К2, ставя на пересечении строки, соответствующей точке EиF, и столбца, соответствующего множеству K, L, K∩ L, KÈ L, K \ L, L \ K, знак + или–
в зависимости от того, принадлежит ли точка этому множеству.

Таблица К2

	K	L	K ∩ L	K È L	K \ L	L \ K
E
F

Задача 3.Перевести в десятичную систему двоичные числа А = а₂₁а₂₂а₂₃, В = а₂₄а₂₅а₂₆,
C = а₂₇а₂₈, D = а₂₉ а₃₀а₃₁а₃₂, E = а₃₃а₃₄а₃₅а₃₆, F = а₃₇а₃₈а₃₉а₄₀, K = а₄₁а₄₂. Решить задачу с номером (K+1) из четырех нижеследующих (числа A, B, C, D, E, F определяют содержащиеся в них параметры).

1. Из 100 школьников (50 + А) играют в баскетбол, (20 + В) - в волейбол, (35 + С) не играют в эти игры. Сколько человек играют и в баскетбол, и в волейбол? Сколько процентов школьников, играющих в баскетбол, играют в обе игры?

2. Из 100 студентов (53 + А) любят слушать музыку, (23 + В) занимаются спортом, причем
(5 + D) студентов занимаются спортом и любят слушать музыку. Сколько человек не увлекаются ни спортом, ни музыкой? На сколько процентов это число меньше числа любителей музыки?

3. Среди 100 туристов одним английским языком владеют (35 + D), английским и немецким -
Е человек; не владеют ни английским, ни немецким – F туристов. Сколько человек владеют немецким, сколько владеют только немецким? Сколько процентов туристов, владеющих немецким, не владеют английским?

4. Опрос 100 школьников показал, что (50 + D) человек умеют играть в шахматы, Е – и в шахматы, и в шашки, (20 + F) – только в шашки. Сколько школьников не играют ни в одну из этих игр? Сколько человек умеют играть в шашки? Сколько процентов школьников, играющих в шашки, не умеют играть в шахматы?

Задача 4.Перевести в десятичную систему двоичное число d = a₃₃ a₃₄ a₃₅.

Вычислить десятичные числа t_i = a_i+35 + 2 (i = 1, 2,..., 7):

t₁ = a₃₆ + 2, t₂ = a₃₇ + 2,..., t₇ = a₄₂ + 2.

Множество М определяется порождающей процедурой:

(1) d Î M;

(2) если b Î M, то b + 3Î M;

(3) если b Î M, то3b Î M.

Вычислить результат применения к исходному значению d последовательности операций (t₁), (t₂), (t₃), (t₄), (t₅), (t₆), (t₇).

Пример. Значения t_i могут равняться либо 2, либо 3. Пусть d = 5; t_i = 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3. Тогда последовательно получаем: b = 15, 18, 21, 24, 72, 75, 225.

Задача 5.Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

C = a₃₅ a₃₆ a₃₇, D = a₃₈ a₃₉a₄₀, E = a₄₁ a₄₂. Вычислить значения А = С – 6, В = D + 2.

Отрезок [A, B] отображается функцией f(x) = (x + E)² в множество L. Найти множество (промежуток) L. Является ли отображение [A, B] L взаимно однозначным?

Задача 6.Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

C = a₂₉ a₃₀ a₃₁, D = a₃₂ a₃₃a₃₄. Вычислить А = С + 1, В = D – 6.

Определить номер, который получают при нумерации целочисленных точек плоской решетки, изображенной на рис. 2.2 (стр. 20), точки с координатами (А, В), (В, А), (-А, -В).

Задача 7. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

b = a₁ a₂ a₃, X = a₄ a₅a₆ a₇, Y = a₈ a₉ a₁₀ a₁₁, Z = a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅.

Для чисел X, Y, Z вычислить значения суперпозиции с номером b:

0) min (X, max (Y, Z));

1) min (max (X, Y), Z);

2) max (min (X, Y), Z);

3) max (X, min (Y, Z));

4) max (min (X, Z), Y);

5) min (Y, max (X, Z));

6) min (max (Y, Z), X);

7) max (Z, min (X, Y)).

Задача 8. Схема из функциональных элементов имеет структуру, изображенную на рис. 2. Элементы реализуют двуместные функции, которые определяются двузначными двоичными числами, образованными из знаков

а₅ - а₁₆: S₁ = а₅ а₆ ; S₂ = а₇ а₈ ; S₃ = а₉ а₁₀ ; S₄ = а₁₁ а₁₂ ; S₅ = а₁₃ а₁₄ ; S₆ = а₁₅ а₁₆ .

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 ·(умножение); 11 / (деление).

1. Подставив на место элементов S₁–S₆конкретные арифметические операции, составить формулу для функции W(X, Y, Z), реализуемой схемой .

Рис. 2

2. Вычислить значение функции при значениях аргументов

X = 2 + a₁₇ a₁₈ a₁₉ ; Y = 3 + a₂₀ a₂₁ a₂₂ ; Z = 4 + a₂₃ a₂₄ a₂₅ .

Пример. Пусть а₅ - а₁₆ = 110010100111

S₁– 11 / На выходе элемента S₁ : Х / Y

S₂– 00 + На выходе элемента S₂: X + Z

S₃– 10 ·На выходе элемента S₃ : Y · Z

S₄– 10 ·На выходе элемента S₄ : (X / Y) ·(X + Z)

S₅– 01 – На выходе элемента S₅ : (X + Z ) – Y · Z

S₆– 11 / На выходе элемента S₆ , т.е. на выходе схемы:

(X / Y) · (X + Z) / ((X + Z) – Y · Z).

Если Х = 5, Y = 9, Z = 6, то W = • 11 / (11 – 54) = .

Задача 9.Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

А = a₁ a₂, В = a₃ a₄, C = a₅ a₆ , D = a₇ a₈ , E = a₉ a₁₀;

X = 4 + a₁₁ a₁₂ a₁₃ , Y = 5 + a₁₄ a₁₅ a₁₆ , Z = 6 + a₁₇a₁₈ a₁₉ .

В формуле W = [(X A Y) B (Y C Z)] D (X E Z) заменить двузначные двоичные символы A, B, C, D, E на знаки арифметических операций:

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 ·(умножение); 11 / (деление).

Построить схему , реализующую эту формулу. Вычислить значение W(X, Y, Z) при заданных значениях X, Y, Z.

Пример. Пусть А = 1 0, В = 0 1, C = 1 1, D = 1 1, E = 0 0 ; X = 7, Y = 8, Z = 12.

Тогда формула приобретает вид W = [(X · Y) – (Y / Z)] / (X + Z). Подстановка значений X, Y, Z дает W = [(7· 8) – (8 / 12)] / (7 + 12) = (56 – 2/3) / 19 = 166/57.

Задача 10.Перевести в десятичную систему двоичное число R = a₂₆ a₂₇ a₂₈.

Является ли бинарное отношение с номером R между числами, точками, геометрическими фигурами транзитивным, симметричным, антисимметричным?

0) Прямая l₁ пересекается с прямой l₂.

1) Квадрат K₁ на плоскости находится внутри квадрата K₂.

2) Точка А на оси ОХ находится между началом координат и точкой В.

3) Точка земной поверхности А находится на той же высоте над уровнем моря, что и точка В.

4) Целое число А делится без остатка на целое число В.

5) Целое число А имеет общий множитель, не равный 1, с числом В.

6) Точка А на окружности диаметрально противоположна точке В.

7) Дуга окружности между точками А и В составляет 90º.

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1

Задание

Перевести в двоичную систему десятичные числа: 82, 173.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Использовать шкалу сте-пеней основания двоичной системы – числа 2	0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...
	Представить заданное чис-ло в виде суммы элемен-тов шкалы, последователь-но выделяя максимально возможное слагаемое	82 = 64 + 18 = 64 + 16 + 2 173 = 128 + 45 = 128 + 32 + 13 = = 128 + 32 + 8 + 5 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1
	Выделить на шкале слага-емые, участвующие в раз-ложении: им соответст-вует цифра 1 в двоичном представлении; отсутст-вующим – цифра 0	6 5 4 3 2 1 0 64 32 16 8 4 21 1 0 1 0 0 1 0 8210 = 10100102 7 6 5 4 3 2 1 0 128 64 3216 8 42 1 1 0 1 0 1 1 0 1 17310 = 101011012

Решите самостоятельно следующие задачи:

Перевести в двоичную систему десятичные числа: 21, 56, 74, 90, 101, 123.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2

Задание

Перевести в десятичную систему двоичное число: 1101001.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Использовать шкалу сте-пеней основания двоич-ной системы числа 2	0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...
	Сопоставить знакам 1 в двоичном представлении заданного числа элемен-ты шкалы	1 1 0 1 0 0 1 6 5 4 3 2 1 0 64 3216 8 4 2 1
	Сложить выделенные числа – степени числа 2	11010012 = 64 + 32 + 8 + 1 = 10510

Решите самостоятельно следующие задачи:

Перевести в десятичную систему двоичные числа: 10010, 110101, 101001, 1000110, 1110100, 1011001.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3

Задание

А и В – множества действительных чисел: А = (-2, 4), В = [0, 7].

Найти и показать на числовой прямой множества А Ç В, A È В, А \ В, А \ В, .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Изобразить множества А и В на числовой прямой	А = (-2, 4) - интервал, концы промежутка не принадлежат множеству В = [0, 7] - отрезок, концы промежутка принадлежат множеству
	А Ç В – пересечение множеств А и В	А Ç В - полуинтервал [0, 4)
	A È В - объединение множеств А и В	A È В - полуинтервал (-2, 7]
	A \ В - разность множеств А и В	A \ В - интервал (-2, 0): точка 0 не входит в интервал, поскольку она принадлежит множеству В. -2 0
	B \ A - разность множеств А и В	В \ А - отрезок [4, 7]: точка 4 входит в отрезок, поскольку она не принадлежит множеству А.
	- дополнение множества А	- объединение двух бесконечных промежутков (-¥, -2] È [4, +¥): концы интервала не принадлежат ему и поэтому входят в дополнение

Решите самостоятельно следующие задачи:

Найти и показать на числовой прямой множества А Ç В, A È В, А \ В, А \ В, , для множеств:

1) А = [-2, 0], В = (-6, 1];

2) А = (0, 4), В = [-5, 1];

3) А = [-2, 5], В = [0, 3];

4) А = [-6, 4), В = [0, 7];

5) А = (-2, 4), В = (0, 7).

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4

Задание

Определить, какую функцию двух переменных W(X, Y) реализует схема, изображенная
на рис. 3.

Рис. 3

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
	Пронумеровать эле-менты и сопоставить им реализуемые ими одноместные и дву-местные операции	Нумерация элементов – на рис. 3 S1 = X + Y; S2 = Y • 3; S3 = ; S4 = max (S1 , S2); S5 = S4 – S3. Для некоммутативной операции вычитания значение на выходе элемента S4 подается на первый (левый) вход элемента S5; вычитаемое S3 – подается на второй (правый) вход S5
	Записать формулами суперпозиции проме-жуточных данных, последовательно вы-полняя соответст-вующие подстановки	S3 = = ; S4 = max (S1 , S2) = max (X + Y, Y • 3); W = S5 = S4 – S3 = max (X + Y, Y • 3) –

Решите самостоятельно следующие задачи:

1. Определить, какую функцию двух переменных W(X, Y) реализует схема, изображенная на рис. 4, а, б, в.

а б в

Рис. 4

2. Определить, какую функцию трёх переменных W(X, Y, Z) реализует схема, изображенная на рис. 5, а, б.

а б

Рис. 5

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5

Задание

Определить порядка действий при вычислении значения суперпозиции элементарных функций и простых многоместных функций. Построить схемы из функциональных элементов, реализующей функцию

Z = .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Определить состав пере-менных и констант в фор-муле, которая задает функ-цию	Переменные X, Y; константа 1.
	Определить внешнюю опе-рацию (функцию) и основ-ные подформулы	Z = , где Z2 = XY2; Z3 = lg Z4; Z4 = Y2 +
	Определить, какие из функ-ций, составляющих супер-позицию, являются одно-местными, а какие – двуместными	Оперaции lg (логарифмирование) и (извлечение квадратного корня) – одноместные; арифметические операции +, –, ·, / – двуместные
	Составить иерархическую схему последовательности действий	Z = Z2 = X · Z5 Z3 = lg Z4 Z4 = Z5 + Z6 Z5 = Y2 Z6 =
	Построить схему из функциональных элементов в соответствии с иерархической схемой вычисления   а) определить совокупность используемых элементов с одним и двумя входами; б) выделить подформулы, имеющие в суперпозиции больше одного вхождения; в) осуществить необходимое соединение элементов

Решите самостоятельно следующие задачи:

Построить схемы из функциональных элементов, реализующие функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 6

Задание

Используя диаграмму Венна, решить следующую задачу. В экспресс-опросе 200 жителей выяснено, что 80 человек сегодня воспользовались метрополитеном и автобусом,
30 - метрополитеном и троллейбусом, 10 - автобусом и троллейбусом; 70 – только одним видом транспорта; 50 – сегодня не пользовались общественным транспортом. Определить число жителей, использовавших все три вида транспорта.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Представить соотношения между множествами, заданными в условии диаграммой Венна : универсальное множество U и его подмножества в общем положении, образующие разбиение {Bi} множества U	U – универсальное множество участников опроса. М – подмножество пассажиров метрополитена, А – подмножество пассажиров автобусов, Т – подмножество пассажиров троллейбусов. M = B1 È B2 È B4 È B5; A = B2 È B3 È B 5 È B6. T = B4 È B5 È B6 È B7.

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Обозначить заданную в условии численность подмножеств, составленных из элементов разбиения множества U	½U½= 200. ½B8½= 50. ½B2 È B5½= 80. ½B4 È B5½= 30. ½B5 È B6½= 10. ½B1 È B3 È B7½= 70. Требуется найти ½B5½.
	Составить численные соотношения между заданными множествами	Общее число пассажиров: ½MÈAÈT½= ½B1½+½B2½+½B3½+½B4½+½B5½+½B6½+½B7½= = ½U½–½B8½= 200 – 50 = 150. (1) Поскольку попарные пересечения блоков разбиения пусты, то: ½B2 È B5½ = ½B2½+½B5½ = 80. ½B4 È B5½ = ½B4½+½B5½ = 30. ½B5 È B6½ = ½B5½+½B6½ = 10.
	Из полученных соотноше-ний найти требуемое число	Почленное сложение трех предыдущих равенств дает: ½B2½+½B4½+½B6½+ 3·½B5½= 80 + 30 + 10 = 120. (2) Число использовавших только один вид транспорта, равно: ½B1 È B3 È B7½= ½B1½+½B3½+½B7½ = 70. Составляем соотношение: 150 = 70 + ½B2½+½B4½+½B6½+½B5½ Þ Þ ½B2½+½B4½+½B6½+½B5½ = 150 – 70 = 80. (3) Почленно вычитаем из равенства (2) равенство (3): 2·½B5½= 120 – 80 = 40 Þ ½B5½ = 20.

Решите самостоятельно следующие задачи:

Проверить, истинны ли соотношения между множествами:

1. А \ (В È С) = А \ В \ С

2. (А \ В) È (В \ А) = (А È В) \ (А ∩ В)

3. А \ (В ∩ С) = (А \ В) È (А \ С)

4. А \ (А \ В) = (А ∩ В)

5. А \ (В \ А) = А \ В

ГЛОССАРИЙ

№ п/п	Новое понятие	Содержание
	Множество	совокупность элементов, набор каких-либо предметов (объектов); обозначение A ={x: p(x)} - A есть множество элементов х, удовлетворяющих условию p(x)
	Характеристическое свойство элементов множества А	свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладает ни один из элементов, не принадлежащих А
	Подмножество	множество Н, каждый элемент которого принадлежит также множеству М, называется подмножествоммножества М
	Пересечение множеств	множество А ∩ В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В одновременно
	Объединение множеств	множество А È В, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В
	Разность множеств	множество А \ В, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В
	Симметрическая разность множеств	множество А Δ В, состоящее из всех элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств А и В
	Дополнение множества	множество , состоящее из всех элементов универсального множества, не входящих в множество А
	Разбиение множества	система {Bα} непустых подмножеств множества A, что все попарные пересечения – пусты (Bi ∩ Bj = Æ, если i ≠ j, а их объединение ÈBα равно A. Сами Bα называются классами, или блоками разбиения.
	Декартово (прямое) произведение множеств	1) для двух множеств: произведение A ´ B - множество всех пар (a, b), где a Î A, b Î B; 2) для n множеств: произведение A1 ´ A2 ´...´ An – множество всех векторов (a1, a2,…,an), где ai Î Ai (т.е. a1Î A1, a2 Î A2,..., an Î An); если все Ai одинаковы и равны A, то произведение A ´ A ´….´ A обозначается An и n раз называется n-й степенью множества A
	Соответствие между множествами	соответствие A → B: всем или некоторым элементам множества А сопоставлены каким-нибудь способом один или несколько элементов множества В
	Образ элемента а при соответствии А→В	множество всех элементов b Î B, соответствующих элементу а Î А
	Прообраз элемента b при соответствии А→В	множество всех элементов a Î A, которым соответствует элемент b Î B
	Однозначное (функциональное) соответствие A → B, или отображение множества A в множество B	соответствие, при котором каждому элементу a Î A поставлен в соответствие единственный элемент b Î B
	Взаимно-однозначное соответствие (взаимно-однозначное отображение) множеств	правило, при котором каждому элементу A поставлен в соответствие один элемент множества B, и при этом соответствии каждый элемент B соответствует одному и только одному элементу А
	Эквивалентные множества	множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие

	Счетное множество	множество, эквивалентное множеству натуральных чисел
	Интервал (открытый промежуток)	множество чисел A = {x: a < x < b}, расположенных в промежутке между числами a и b; обозначение (a, b). Концы промежутка не принадлежат интервалу
	Отрезок (замкнутый промежуток)	множество чисел B = {x: a ≤ x ≤ b} обозначается [a, b]. Концы промежутка принадлежат интервалу
	Окрестность точки	любой интервал, содержащий эту точку
	Суперпозиция функций	функция, полученная из n-местной функции f(x1, x2,.., xn) и системы n функций g1, g2,..., gn некоторой подстановкой функций g1, g2,..., gn во внешнюю функцию f вместо переменных и переименованиями переменных
	Формула	выражение, описывающее суперпозицию и содержащее функциональные знаки, символы независимых переменных (аргументов) и констант (параметров)
	Характеристическая функция множества	пусть В = {0, 1} – множество из двух чисел. Для подмножества М универсального множества U (M Í U) – отображение χM: U → B, ставящее в соответствие элементам множества M единицу, а элементам дополнения – ноль
	Булеан В(Е)	множество всех подмножеств множества Е
	Схема из функциональных элементов	сеть, элементам которой приписаны (сопоставлены) функции, так что элементу S с k входами соответствует k-местная функция f(x1, x2,..., xk)
	Бинарная алгебраическая операция φ(a, b), или a φ b на множестве М	паре элементов a, b множества М сопоставляется элемент того же или другого множества
	Множество, замкнутое относительно операцииφ	применение операции φ не выводит за пределы множества М, т.е. всякий результат операции φ над элементами множества М также принадлежит М
	Алгебра	система А = (L; Ω), состоящая из множества L и набора операций Ω = {φ1, φ2,..., φk}, действующих на множестве L. Множество L называется носителем, а система операций Ω – сигнатурой алгебры А
	Алгебра множеств (алгебра Кантора)	система (В(U), È, ∩, ‾‾) на булеане В(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения
	Ассоциативная бинарная операция	операция φ, обладающая сочетат