Экстремумы функций нескольких переменных

Говорят, что функция имеет локальный максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке (т.е. лежащих в некоторой её окрестности) и отличных от неё.

Говорят, что функция имеет локальный минимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.

(Слово «локальный» мы, далее, будем опускать).
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в ноль при этих значениях аргументов, или не существует.

Точки в которых частная производная первого порядка обращается в ноль называются стационарными.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является стационарной точкой функции , т.е. . Обозначим , где
Тогда при :
1) имеет максимум, если и .
2) имеет минимум, если и .
3) не имеет ни минимума, ни максимума, если .
4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Пример. Найти экстремум функции .

Решение. Сначала найдем частные производные:

, .

Стационарные точки найдем из системы уравнений:

Система имеет два решения: и . Значит, имеются две стационарные точки – это и .

Находим производные второго порядка данной функции:

,

В точке имеем Так как , то в этой точке экстремума нет.

В точке имеем Так как, и А>0, то функция в этой точке имеет минимум.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

14.1. Основные правила и требования

Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Преподаватель также определяет какие задачи должен решить каждый студент.

Сроки сдачи задания устанавливаются преподавателем.

14.2. Варианты задания

а) Дана расширенная матрица системы. Найти решение этой системы и

соответствующей ей однородной системы.

б) Дана прямая Ах + Ву + С = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно данной прямой.

Исходные данные взять из табл.1.

Таблица 1

№ вари- анта	А	В	С	М0	А1	В1	С1	D1	А2	В2	С2	D2	М1
		-2		3;-1		-3		-18		-1	-1	-2	1;1;0
				-2;3	-2	-1							1;0;2
		-4		7;5				-26		-3	-2	-5	0;0;1
				2;3						-5			2;1;-1
				-3;7		-2		-3			-1		1;2;2
	-2			4;5								-2	2;3;5
				1;-2		-2				-3			1;-1;-1
				2;-1		-2				-2			2;3;-1
				3;-2		-3				-2	-2		1;-5;3
				0;10		-1	-1	-22			-1	-10	-7;5;9
				5;-5						-3			-3;2;5
		-3	-3	1;-7		-2		-5		-2	-4		3;-4;-6
	-3			-9;1		-1		-3			-1	-5	2;5;7
		-3		3;4								-7	0;0;5
				4;2		-1	-5				-4		3;-2;0
		-1		7;0			-3	-1		-1	-9	-2	7;0;3;
	-4			1;-2						-2	-1		-3;60
			-3	2;8		-6	-6					-1	4;0;0
				1;3		-1	-4	-5			-2	-4	3;0;4
				4;-5			-5	-4		-2		-4	0;5;1
		-1		0;0							-2		0;0;0
			-15	1;1		-1					-1	-6	1;2;2
		-2	-13	1;-2		-2	-1		-2	-1		-1	2;3;-1
				2;-3						-1	-3	-2	3;-5;7
			-7	-2;1			-3			-1			2;4;-6

в) Для матрицы третьего порядка вычислить ее определитель; найти ее обратную матрицу; найти собственные значения и собственные вектора:

г) Найти определитель четвертого порядка:

д) Для прямых Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 найти их взаимное расположение. В случае их пересечения найти угол между ними, в случае их параллельности - расстояние. Исходные данные взять из

табл. 1.

е) Даны вершины треугольника с координатами (А, А₁), (В, В₁) и

(С, С₁). Найти уравнения высоты и медианы этого треугольника (на ваш выбор). Исходные данные взять из табл. 1.

ж) Вычислить расстояние от точки М₁ до плоскости

А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0. Исходные данные взять из табл. 1.

з) Найти угол между плоскостями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0. Исходные данные взять из табл. 1.

и) Найти точку Q, симметричную точке М₁ относительно прямой

Исходные данные взять из табл. 1.

к) Написать уравнение прямой, проходящей через точки (x₀, y₀, z₀) и P. Исходные данные взять из табл. 2.

л) Вычислить расстояние d от точки Р до прямой

Исходные данные взять в табл. 2.

м) По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямых и ;

6) уравнения плоскостей и ; 7) угол между плоскостями и ;

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

22.

23.

24.

25.

Таблица 2

№ варианта-	(x0,y0,z0)	(l,m,n)	P	№ варианта	(x0,y0,z0)	(l,m,n)	P
	1;-1;7	2;-3;3	1;2;-3		1;-1;0	1;-2;6	1;0;-1
	-5;2;-3;	3;-2;-1	1;-2;5		-2;1;3	-2;3;2	4;3;0
	-3;-2;8	3;2;-2	-1;1;0		2;-1;5	3;-4;4	2;1;0
	-7;5;9	3;-1;4	2;0;-2		5;-3;5	-2;2;-1	3;0;-1
	1;-2;5	2;-3;4	0;2;3		-2;0;1	2;-3;4	3;1;7
	7;2;1	3;2;-2	0;2;3		3;-2;0	1;-1;2	1;2;-7
	5;6;-3	13;1;-4	3;-4;-2		0;1;0	1;-2;3	3;3;5
	2;3;-3	2;-3;2	0;0;0		3;2;-6	2;3;-4	5;-1;-4
	-4;4;-1	2;-1;-2	3;3;1		5;-1;-4	1;-4;1	3;2;-6
	-5;5;5	4;-3;-5	1;0;2		1;-2;1	2;3;-6	0;5;6
	2;-4;1	3;-2;2	3;-2;-4		3;5;-2	-4;3;-12	2;2;3
	5;-3;-1	2;-4;3	4;2;-1		1;-1;3	3;2-5	-1;2;-3
	9;0;2	6;-2;-1	-5;-5;1

н) Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

1.	1)	2)
	3)	4)
2.	1)	2)
	3)	4)
3.	1)	2)
	3)	4)
4.	1)	2)
	3)	4)
5.	1)	2)
	3)	4)
6.	1)	2)
	3)	4)
7.	1)	2)
	3)	4)
8.	1)	2)
	3)	4)
9.	1)	2)
	3)	4)
10.	1)	2)
	3)	4)
11.	1)	2)
	3)	4)
12.	1)	2)
	3)	4)
13.	1)	2)
	3)	4)
14.	1)	2)
	3)	4)
15.	1)	2)
	3)	4)

16.	1)	2)
	3)	4)
17.	1)	2)
	3)	4)
18.	1)	2)
	3)	4)
19.	1)	2)
	3)	4)
20.	1)	2)
	3)	4)
21.	1)	2)
	3)	4)

22.	1)	2)
	3)	4)
23.	1)	2)
	3)	4)
24.	1)	2)
	3)	4)
25.	1)	2)
	3)	4)

о) Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.