Экстремумы функции нескольких переменных

О: Точка называется точкой максимума (минимума)

функции (х, у), если

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Примеры: 1)

Очевидно т. (1, 2) является т. mm, так как все остальные значения х и у дадут z > -1

2) В данном случае т. (0, 0) является т. max, так как

Т: (необходимое условие экстремума)

Если функция г = (х,у) имеет экстремум в т. то

или обращаются в нуль, или не существуют

Пусть у = тогда — функция одной переменной. Так как при х = она имеет экстремум, то

Доказательство при х = аналогично Эти условия не являются достаточными.

Пример: обращаются в нуль в т. О(0,0),

но ху> 0 при х > 0, у > 0, ху< 0 при х < 0, у > 0, т.е. определение экстремума не выполняется.

Приведем достаточные условия экстремума для стационарных

т. в которых

Т: (достаточные условия экстремума) Пусть в некоторой области, содержащей т. функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и эта точка является стационарной.

Пусть

Доказательство см. в [11.С. 419].

Пример: Исследовать на экстремум

— стационарные точки,

1) — точка минимума,

2)т. — точка

максимума,

3) экстремума нет,

4) экстремума нет

Для функции п переменных определение экстремума и

необходимые условия сохраняются. Необходимое условие в случае дифференцируемой функции кратко запишется в виде:

Сформулируем достаточные условия экстремума.

Т: Если в стационарной т. второй дифферен-

циал

является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то — точка min (max)

Доказательство см. в [11.С. 424].

Сформулированные ранее достаточные условия экстремума для функции являются следствием данной теоремы

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Определение первообразной и неопределенного интеграла Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С - произвольная постоянная. Свойства неопределенного интеграла В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины. · · · · Таблица интегралов В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (6.1) Во втором случае: . (6.2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Пример 12. (положим тогда Пример 13. (положим тогда ) = = (используем формулу ) = = = Возвращаясь к старой переменной, использовали выражение: Замечание. В примерах 12 и 13 использовали подстановку вида: и формулу (6.1). Подстановку выбирают так, чтобы правая часть формулы (6.1) приобрела более удобный для интегрирования вид. Пример 14. (положим тогда ) = = Пример 15. (положим тогда ) = Замечание. Примеры, рассмотренные в п.4 можно было решить методом замены переменной, используя подстановку вида Так, например, (положим тогда ) = Вычислим используя подстановку Имеем Тогда .