Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулы Байеса.

1 В сельской библиотеке 2500 книг. Из них приключенческих 790, научно-популярных журналов 250, исторических 780, детских 680. Вероятность того, что книга издана после 2000 года соответственно равна 0,78, 0,65, 0,54, 0,35. Найти вероятность того, что читатель закажет книгу, изданную после 2000 года.

2 На склад аптечного киоска привезли 100 упаковок лекарственных средств. Из них 25 – анальгин, 36 – парацетамол, 39 – аспирин. Известны вероятности того, что указанные лекарственные средства удовлетворяют ГОСТу соответственно 0,98, 0,95, 0,97. Найти вероятность того, что извлеченное лекарственное средство, удовлетворяет ГОСТу и является парацетамолом.

3 Служащий банка может ездить на работу на трамвае или на автобусе. В 1/3 случаев он пользуется трамваем, а в 2/3 автобусом. Если он едет на трамвае, то опаздывает с вероятностью 0,05, а если на автобусе, то с вероятностью 0,01. Сегодня служащий опоздал. Какова вероятность, что он ехал на трамвае.

4 При разрыве бронебойного снаряда 20% от общего числа составляют крупные осколки, 30% – средние и 50% – мелкие. Крупный осколок пробивает броню танка с вероятностью 0,8, средний – с вероятностью 0,5, а мелкий осколок – с вероятностью 0,2.

а) Найти вероятность того, что в броне танка образовалась пробоина.

б) В результате испытания бронебойного снаряда броня танка оказалась пробитой. Какова вероятность того, что пробоина образовалась от мелкого осколка?

5 Два станка производят детали. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Первый станок производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым станком.

6 Два станка производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения бракованных деталей на первом станке - 0,04, на втором - 0,05. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь не бракованная.

7 Детали для сборки вырабатываются на двух станках, из которых первый производит деталей в 3 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,025, а в выпуске второго — 0,015. Одна взятая наудачу деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она выработана на втором станке.

8 В магазин поставляют изделия две фабрики. В продукции первой из них 90% стандартных изделий, второй – 80%. Известно, что во всей стандартной продукции магазина количество изделий фабрик относятся как 27 : 8. Изделие, отобранное случайным образом из всей продукции, оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно изготовлено на второй фабрике.

9 С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьго – 20%, с четвёртого – 10%. Вероятности брака для каждого из станков 0,1%, 0,2%, 0,25%, 0,5% соответственно. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.

10 Для участия в спортивных соревнованиях из первой группы было выделено 4 студента, из второй - 6, из третьей – 5 студентов. Вероятность того, что студент каждый из групп попадает в сборную института равны 0,5, 0,4, 0,3 соответственно для каждой из групп. Наудачу выбранный участник попал в сборную. К какой из трёх групп он вероятнее всего принадлежит?

11 В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

12 Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.

13 В деканат поступили работы (результаты тестирования) по трём предметам в соотношении 2:3:5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05, 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной.

14 На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из первого цеха, 45% из второго цеха и 25% из третьего цеха. Среди изделий первого цеха брак составляет 0,6%, по второму цеху - 0,4% и по третьему цеху - 0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком?

15 Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесёт ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из контрактов не «лопнет», равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель, по меньшей мере, ничего не потеряет?