Схема выбора с возвращением (с повторением).

Если при выборке т элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Вычисляется по формуле .

Пример 1. Из 3 элементов а, b, с составить все размещения по два элемента с повторениями.

Решение. По формуле число размещений по два с повторениями равно . Это: (а, а), (а, b), (а, с), (b, b), (b, а), (b, с), (с, с), (с, а), (с, b).

Если при выборке т элементов из n элементы возвращаются обрат­но без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Вычисляется по формуле .

Пример 2. Из трех элементов а, b, с, составить все сочетания по два элемента с повторениями.

Решение. По формуле число сочетаний по два с повторениями равно . Составляем эти сочетания с повторени­ями: (а, а), (а, b), (а, с), (b, b), (b, с), (с, с).

Пусть в множестве с n элементами есть к различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент — n₂ раз, ..., k --й элемент — n_к раз, причем n₁ + n₂ + … + n_к = n.Перестановки из n элементов данного множества называют пере­становками с повторениями из n элементов.

Вычисляется по формуле .

Пример 3. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?

Решение. Применяя формулу перестановки с повторениями, получаем n=5, n₁=2, n₂=2, n₃=1. Чи­сло различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно .

- 6 -

Задачи для самостоятельного решения.

1. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: а) 2, 5, 7, 8; б) 0, 1, 9?

2. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

3. Игральная кость (на ее 6 гранях нанесены цифры от 1 до 6) бро­сается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.

Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

Группа учащихся из 8 человек отправляется в путешествие по Kpыму. Сколькими способами можно составить группу из учащихся 5-7 классов?

Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Сколькими способами можно распределить 4 книги на трех полках книжного шкафа? Найти число способов расстановки книг на полках, если порядок их расположения на полке имеет значение.

9. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ?

Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы?

Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров трем по магазинам, если в 1-й магазин надо доставить 9, во 2-й 4, а в третий — 3 вида товаров?

Сколькими способами можно сделать букеты состоящие из пяти полевых цветов, если имеются только ромашки, васильки и колокольчики?

У ювелира есть 5 изумрудов разного размера, 8 сапфиров разного размера и 7 рубинов разного размера. Сколькими способами он может отобрать по 2 камня каждого вида для брошки?