Схема с повторением испытаний

4.1. Проводится 10 независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз.

4.2. Проводится 100 независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет от 45 до 55 раз.

4.3. Проводится 100 независимых выстрелов по цели. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти: а) вероятность того, что цель будет поражена не менее 75, но не более 85 раз; б) наиболее вероятное число попаданий в цель.

4.4. Надежность серийно изготовляемого изделия 0,999. Какова вероятность того, что в партии из 10000 изделий число неисправных не менее 8950 и не более 9050? Найти также наиболее вероятное число исправных изделий.

4.5. Вероятность рождения мальчика 0,51. Какова вероятность того, что из 100 новорожденных: а) окажется 50 мальчи­ков; б) число мальчиков будет заключено в пределах от 50 до 55.

4.6.

В лотерее 30% выигрышных билетов. Найти; а) вероят­ность того, что из 6 купленных билетов будет не менее двух выигрышных; б) наиболее вероятное число выиг­рышных билетов из 6 купленных; в) вероятность того, что из 40 купленных билетов не менее 10 выигрышных.

4.7. Надежность серийно изготовляемых изделий 80%. Какова вероятность того, что из 500 проверенных изделий не менее 400 окажутся качественными?

4.8. В семье 5 детей. какова вероятность того, что в ней не более 2-х мальчиков?

4.9. Вероятность брака равна 0,1. Каково наиболее вероятное число бракованных изделий в партии из 25 изделий?

4.10. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) восемь; б) по крайней мере восемь; в) не менее трех.

4.11. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.

4.12. Рабочий за смену изготавливает 120 изделий. Вероятность того, что изделие оказывается высшего сорта, равна 0,94. Найти: а) наиболее вероятное число изделий высшего сорта и вероятность данного значения; б) вероятность того, что изделий высшего сорта заключено в пределах от 105 до 118.

4.13. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий наудачу взятых из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

4.14. Предполагая, что вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6, найти вероятности следующих событий: 1) при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз; 2) при 200 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 110, но не более 130 раз; б) не более 100 раз; в) не менее 115 раз.

4.15. Что вероятней? Выиграть у равносильного противника 3 партии из четырех или 5 партий из восьми (ничейный исход исключен).

4.16. В компьютерных классах одновременно установили 84 новых компьютера. Вероятность безотказной работы одного компьютера в течение трех лет равна 0,7. Найти вероятность того, что за три года откажет: а) ровно 21 компьютер; б) от 21 до 27 компьютеров; в) менее 21 компьютера.

4.17. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет: а) 15 ошибок; б) меньше 20 ошибок.

4.18. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 60 долларов страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 5000 долларов. Считая, что вероятность поломки автомобиля в течение года в результате аварии равна 0,006, найти вероятность того, что: а) по истечении года работы страховая компания окажется в убытке; б) прибыль компании окажется не меньше 200000 долларов; в) прибыль окажется не меньше 300000 долларов.

Случайные величины

5.1. В связке 5 ключей, из которых один открывает дверь. Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины x – числа попыток открыть дверь.

5.2. Линия связи состоит из 4-х участков. На одной из них произошел обрыв связи. Вероятность обрыва на каждом участке одинакова. Найти закон распределения числа проверенных участков.

5.3. У стрелка 4 патрона. Вероятность попадания при одном выстреле равна . Стрельба ведется до первого попадания или до израсходования всех патронов. составить закон распределения случайной величины – числа израсходованных патронов.

5.4. игральная кость бросается три раза. Найти закон распределения числа выпадений шестерки.

5.5. Вероятность успеха при одном испытании равна . найти закон распределения и числовые характеристики числа успехов после 4-х независимых испытаний.

5.6. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. Построить график функции распределения.

5.7. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины x – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

5.8.

103 104

Мастер делает попытки обнаружить неисправность и при этом до конца смены успевает сделать не более трех попыток. Вероятность обнаружения неисправности при одной попытке равна 0,6. составить закон распределения числа производимых попыток.

5.9. В лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша на сумму 200 руб. и 60 руб. Стоимость билета 10 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для лица, купившего 2 билета.

5.10. Студент знает 10 из 15 экзаменационных вопросов. Ему задают два вопроса, случайным образом выбранные из списка. Случайная величина Х – число вопросов, на которые ответил студент. Найти закон распределения данной случайно величины, М [Х], D [X].

5.11. Случайные величины x и h заданы законом распределе­ния:

x: , h:

Составить закон распределения суммы этих случайных величин и проверить свойство математического ожидания для суммы двух случайных величин.

5.12. Плотность вероятности случайной величины x имеет вид:

Найти: а) константу с; б) Р(x Î [– 2; 0]); в)М [x ]; г) D[x ]; д) функцию распределения F (x).

5.13. Плотность вероятности случайной величины x имеет вид:

Найти: а) константу с; б) М[x]; в) D[x];

г) P (2 < x <10); д) функцию распределения F (x).

5.14. Плотность вероятности случайной величины x имеет вид:

Найти: а) константу с; б) P (|x|≤2); в) функцию распре­деления F (x).

5.15. График плотности вероятности случайной величины x имеет вид:

1) 2)

Найти: а) константу с; б) М [x ]; в) ; г) Р(| x | 0,5).

5.16. График плотности вероятности случайной величины x имеет вид:

Найти: а) константу с; б) М [x ]; в) .

5.17. График плотности вероятности случайной величины x имеет вид:

Найти: а) константу с; б) М [x ]; в) .

5.18. График плотности вероятности случайной величины x имеет вид:

1) 2)

Найти: а) константу с; б) М [x ]; в) .

5.19. Функция распределения случайной величины x имеет вид:

1)

2)

Найти: а) Р ( 0,5 ≤ x≤ 2,5); б) М [ x ]; в) D [ x ].

5.20. Функция распределения случайной величины x имеет вид:

Найти: а) плотность распределения f (x); б) Р (1≤ x<2,5); в) m_x, .