Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.

О. Ф-я наз-тся бесконечно малой при , если ; . Н.: явл. бесконечно малой при .

Св-ва бесконечно малых ф-ий:

1. если ф-я имеет предел при , то можно принять , где – бесконечно малая при

2. если ф-я представляется в виде , где –бесконечно малая при , то предел при будет равен

3. сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при

4. произведение двух бесконечно малых ф-ийпри есть бесконечно малая при .

5. произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при

6. произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при .

О.Ф-я наз-тся бесконечно большой при , если >0 можно найти такое число d>0, что при " 0< <dÞ > .

Бесконечно большая ф-я при не имеет предела. Условно говорят, что и пишут .

10)Основные теоремы о пределах ф-ии.

Замечательные пределы.

Т. Ф-я не может иметь более 1-го предела при .

Док-во:

Предположим,что для ,существует 2 предела,тогда А1-А2+о1(х)+о2(х)=0,где о1(х) и о2(х)-бесконечно малые,тогда А1=А2;

Т. Если каждая из ф-ий и имеет предел при , то их сумма, разность, произведение также имеют пределы. Причем предел при

Если кроме того , то сущ-ет предел частного причем предел частного равен частному пределов.

Док-во:

Докажем для произведения пусть предел у(х) при х стремящемся к а равен А,а предел z(x) при х стремящемся к а равен В.По свойствам бесконечно малых функций у(х)=А+о(х),а z(x)=В+р(х),где о(х)и р(х)-бесконечно малые при х стремящемся к а..Рассмотримпроизведение:предел при х стремящемся к а(у(х)*z(x))=пределу при х стремящемся к а((А+о(х))*(В+р(х)))=пределу при х стемящемся к а АВ+бесконесномалая(бм)+бм+бм

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 2. Если , то

Т. Пусть ф-и определены в нек-рой окрестности точки . Если для из этой окрестности вып-тсянер-во и ф-и (1), (2) имеют одинак. пределы при , то ф. (3) имеет тот же предел при .

Док-во:

Пусть предел функции при х стремящемся к а U(x)= пределу функции при х стремящемся к а V(х),т.к. ,тоU(х)-А У(х) V(x),по определению предела для любого эпсилан больше 0 существует дельта 1 и дельта 2 больше нуля,такие что /х-а/ дельта1 следовательно /U(x)-A/ эпсилан;/х-а/ дельта2 следовательно /V(x)-A/ эпсилан

Положим дельта=минимальной(дельта1+дельта2),тогда/х-а/ дельта,следовательно/У(х)-А/ Эпсилан..А это по определению означает,,что предел при х стремящемся к а У(х)=А

Т. Пусть ф. определена в нек-ром промежутке, содержащем и если при ф-я имеет «+»(«-«) предел, то найдется такая окрестность точки , что для из этой окрестности ф.- «+» («-«).

Док-во:
если функция имеет предел /f(x)-a/ эпсилан;а-эпсилан f(x) a+эпсилан..положим эпсилан=а/2;существует дельта больше 0;а/2 f(x) 3a/2,т.к. а больше 0,то f(x) больше 0,

Т. Если ф. и определены в нек-ром промежутке, содержащем точку и для из этого промежутка кроме вып-тсянер-во < причем ф. и М имеют пределы при , тогда .

Док-во:

Пусть предел при х стремящемся к а U(x)=А,и предел при х стремящемся к а V(x)=В;предположим,что А больше В,по теореме сохранения знака предел при х стремящемся к а (U(x)-V(x))=А-В.Значит найдется такая окресность точки А в которой U(x)-V(x) 0,что противоречит условию следовательно условие не верно и А В

О. Отношение двух ф. есть неопределенность вида (или ) если и бескон. малые (беск. большие). В этом случае о пределе частного нельзя ничего определенного сказать, он может быть =0, = постоянной или =¥. Раскрыть эти неопределенности значит вычислить предел если он сущ-ет или док-ть, что он не сущ-ет.

1-метод раскрытия неопределенности-сокращение общего множителя.

2-метод: деление на степень .

разделим на