Деление отрезков в данном отношении.
Дано: произвольный отрезок М1М2 и пусть М-произв. точка этого отрезка, отличная от М2. Число - отношение, в к-ром М делит отрезок М1М2.
Теорема: Если делит отрезок М1М2 в отнош. l, то корд. этой точки определяются рав-вом , где -коорд. М1, -М2.
Док-во:Докажем 1 из формул: 1) х1=х2=х=х1*(1+λ)/1+ λ=( х1+ λ х1)/1+ λ=
2) х1 не=х2,опустим перпендикуляры из т.М,М1,М2 на ось ОХ и обозначим их Р,Р1,Р2,по теореме о пропорциональности отрезков ММ1/ ММ2= РР1/ РР2=λ; РР1= / х- х1/; РР2 =/ х2- х/
Эти выражения имеют один и тот же знак.неогранич. общности будем считать,что эти выражения положительны,тогда: / х- х1/ / /х2- х/=λ,выражаем х=
Следствие:еслитМ-середина отрезка М1М2,то её координаты (х1+х2)/2 и аналогич. У
Площадь треугольника.
Т. Для любых точек не лежащих на одной прямой, выражается ф-лой
3)Ур-ние прямой на плоскости
Пусть на плоскости задана прямоуг. с-ма координат и нек-рая линия .
О. Ур-ние вида связывающее переменные и наз-тсяур-нием линии (в заданной с-ме координат); если этому ур-нию удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на линии .
Примеры ур-ний линий на плоскости.
1. Рассм. прямую параллельную оси Оу. Обозначим буквой А точку пересечения А с Ох. Точка А(а,0).
Ур-ние х=а явл. ур-нием данной прямой, т.к. этому ур-нию удовлетворяют координаты любой точки М(а,у) и не удовлетворяют координатам ни одной точки не лежащей на этой прямой. Если а=0, то прямая совпадает с осью Оу.
2. Ур-ние определяет множ-во точек плоскости, составляющих биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
3. . Данноеур-ние задает множ-во точек на плоскости, составляющих биссектрисы коорд. углов.
4. . Это ур-ние задает единственную точку на плоскости с коорд (0,0). . Это ур-ние с центром в точке (0,0)
Ур-ниепрямой с угловым коэффициентом.
Пусть прямая, не параллельная оси Оу.
Обозначим точки пересечения с Оу точкой В, а угол между полож. направлением оси Ох и обозначим j .Ðjназ-тся углом наклона к Ох (и в пределах от [0;p) ). Пусть М(х,у)- произвольная точка прямой. Величину обозначают и называют угловым коэффициентом прямой. Тогда ур-ние примет вид –ур-ние прямой с угловым коэффициентом, в частности если =0, то j=0, прямая параллельна оси Ох. с ур-нием если =0 и получаем ур-ние оси Ох.
Уравнение прямой по 2 точкам.
Пусть данная прямая имеет угловой коэф. и проходит через точку . Искомое ур-ние прямой . Подставим коорд. точки М1в ур-ние
Ур-ние прямой, проходящей через 2 данные точки.
Пусть искомая прямая проходит через точки и . Искомое ур-ние , где и неизвестны. Т.к. прямая проходит через М1, то , т.к. прямая проходит через М2, то . Выразим из первого ур-ния и подставим во второе
Пр. Составить ур-ниепрямой по точкам (1;2);(2;4)
Общее ур-ниепрямой.
Т. Каждая прямая на плоскости с прямоуг. с-мой корд.определяется ур-нием первой степени , где α и b одновременно не равны 0. a2 + b2 ≠0 определяет нек-рую прямую на плоскости.
Док-во:Пусть прямая имеет ур-ние ,тогда кх-у+b,тоесть А=к,В=-1,С=b,следовательно Ур-ние прямой удовлетворяет общему виду Ур-ний;
Обратно если прямая задается этим урачнение,по условию хотябы один из коэффициентов отлтченотнуля делим на этот коэффициент,и получаем прямую которая соответствует Ур-нию с угловым коэффициентом.
Это ур-ние называют общим ур-нием прямой на плоскости.