Свойства координат векторов.

Свойство 1.Вектор является нулевым вектором пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

Свойство 2. Два вектора пространства V_n равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе пространства V_n.

Свойство 3. Вектор x является линейной комбинацией векторов x₁,x₂,...,x_r тогда и только тогда, когда каждая координата вектора x в некотором базисе пространства V_n является такой же линейной комбинацией соответствующих координат векторов x₁,x₂,...,x_r в том же базисе пространства V_n.

17. Преобразования координат

Пусть Vn – некоторое вещественное линейное пространство, а E = (e₁, e₂, . . . , e_n), E′ = (e′₁, e′₂, . . . , e′_n)– два его базиса. И пусть далее x некоторый вектор пространства V_n, который в базисе имеет координатный столбец X = , а в базисе – координатный столбец

Чтобы установить взаимосвязь между X и X′ необходимо знать связь между базисами.

Разложим векторы базиса по базису Пусть

, где α_ij ∈ R, ∀_{i, j} = 1, n. Обозначим через

S ::= матрицу, составленную из координатных столбцов векторов базиса в базисе. Тогда можно записать в виде E′ = E · S.

Матрица S, столбцами которой являются координатные столбцы векторов базиса E′ = (e′₁, e′₂, . . . , e′_n) в базисе E = (e₁, e₂, . . . , e_n), называется матрицей перехода от базиса E к базису E′.

Так как базис, то матрица S является невырожденной, и следовательно, для нее существует обратнаяматрица S⁻¹. Тогда умножив равенство справа на S⁻¹, получим

E = E′ · S⁻¹

Формула дает выражение базиса через базис. А это значит, что S⁻¹ – матрица перехода от базиса (8.28) к базису (8.27).

Далее, с одной стороны, x = EX, а с другой стороны x = E’X’. Отсюда EX = E’X’. В силу формулы (8.30), имеем EX = ESX′, или E(X − SX′) = 0. (8.32)

Из равенства (8.32) следует, что X − SX′ координатный столбец нулевого вектора в базисе (8.27). Это значит,что этот столбец нулевой, т.е. X − SX′ = 0 ⇔X = SX′ (8.33)

или

Формулы (8.33) или (8.34) выражают зависимость между координатами вектора x в базисах (8.27) и (8.28) – его координатный столбец в базисе (8.27) получается из координатного столбца в базисе (8.28) умножением слева на матрицу перехода от базиса (8.27) к базису (8.28). Из формулы (8.31) получается также выражение X′ через X:X′=S⁻¹X, (8.35)т.е. выражение координат вектора x в "новом"базисе (8.28) через его координаты в "старом"базисе (8.27).

Линейные отображения и линейные операторы. Примеры линейных отображений и линейных операторов

Пусть множество P = R(P = C) и пусть V и V ′– два вещественных (комплексных) линейных пространства.

Отображение f : V → V ′ называется линейным, если для любых двух векторов x₁,x₂ ∈ V и любого числаλ ∈ R справедливы равенства:

1) f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂);

2) f(λx₁) = λf(x₁).

Система условий 1), 2) равносильна, очевидно, следующему условию:

f(λ₁x₁ + λ₂x₂) = λ₁f(x₁) + λ₂f(x₂),для любых векторов x₁,x₂ пространства V и любых чисел λ₁,λ₂ ∈ P.

Примеры линейных отображений.

Пример 11.1. Тождественное отображение e : V → V пространства V в себя, определяемое формулой e(x) = x, ∀x ∈ V, является линейным отображением.

Пример 11.2. Нулевое отображение 0 : V → {0}, определяемое формулой O(x) = 0, является линейным отображением.

Пример 11.3. В пространстве V3 свободных векторов фиксируем какой-либо базис. Тогда любому вектору x ∈ V₃ можно поставить в соответствие координатный столбец X = , X ∈ R_3,1. И следовательно, формулой f(x) = X определяется линейной отображение f : V₃ → R_3,1.

Пусть P множество действительных чисел, и V – вещественное линейное пространство.

Линейное отображение f пространства V в себя, т.е. f:V→V называется линейным оператором (линейным преобразованием) пространства V.

Пример 12.1. Нулевое линейное отображение O : V → V, определяемое для каждого вектора a пространства V формулой 0(a) = 0.

Пример 12.3. В пространстве V3 геометрических векторов поворот на угол α вокруг одной из осей, проектирование параллельно одной из осей являются линейными операторами.

Пример 12.4. В пространстве P[x] (пространство всех многочленов) отображение f : P[x] → P[x], определяемое формулой f(ϕ(x)) = ϕ‘(x), ϕ(x) ∈ P[x] является линейным оператором.

Матрица линейного оператора

Пусть f – линейный оператор пространства V_n, а (e₁, e₂, . . . , e_n) (12.1) базис этого пространства. Найдем образы базисных векторов (12.1) при отображении f (f(e₁), f(e₂), . . . , f(e_n)) (12.2) и разложим их по базису (12.1). Имеем

. Составим матрицу

A = (12.4) столбцами которой служат координатные столбцы векторов системы (12.2) в базисе (12.1).

Матрица, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов при линейном отображении f пространства V_n в себя, записанных в том же базисе этого пространства, называется матрицей линейного оператора f в рассматриваемом базисе пространства Vn.

Пусть теперь x произвольный вектор пространства V_n, а x₁, x₂, . . . , x_n координаты этого вектора в базисе (12.1), т.е. имеет место разложение x = x₁e₁ + x₂e₂ + . . . + x_ne_n, xi ∈ P, ∀i = 1, n. (12.5) Найдем координаты y₁, _y2, . . . , y_n вектора y = f(x) в том же базисе (12.1).

С одной стороны, имеем y = f(x) = y₁e₁+y₂e₂+...+y_ne_n. (12.6)

С другой стороны y = f(x) = f(x₁e₁+x₂e₂+...+x_ne_n)=x₁f(e₁) +x₂f(e₂)+...+x_nf(e_n)=x₁(a₁₁e₁+a₂₁e₂+...+a_n1e_n)+x₂(a₁₂e₁+...+a_ne_n)+...+x_n(a_1ne₁+...+a_nne_n)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n)e₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n)e₂+...+(a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n)e_n. (12.7)

Сравнивая это выражение с равенством (12.6), получим

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + . . . + a_2nx_n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n. (12.8)

Соотношение (12.8)выражают зависимость между координатами образа и прообраза одного и того же вектора при линейном преобразовании f.Отметим, что систему соотношений (12.8) можно записать в матричном виде Y = AX, (12.9)