Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

Определитель квадратной матрицы или детерминант – число, характеризующее квадр. матрицу. Определитель первого порядка – само число а . А=(а), т.е. ∆=|А|=а

Свойства определителей:

1.определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот

2. при перестановке 2-х парал. строк определитель меняет знак на противоположный

3. определ. имеющий 2 одинаковых ст-ки(столбца) = 0

4. общий множитель элем. каждого ряда модно выносить за знак определителя

5. определ. не изменится, если к элем. ряда прибавить соотв.элем. парал. ряда, умноженные на одно и тоже число

Вычесление определителей

Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков. Вот эти свойства:

1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.

2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.

3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.

4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

Решение СЛАУ методом Крамара

Замечание: если число неизвестных = числу ур-ний в СЛАУ, то систему можно решить методом обратной матрицы и по ф-ам Крамера, если m ≠ n то данными методами система не решается

Формулы Крамера:

Хi = ∆i / ∆

Где ∆ - главный определитель системы, составленный из коэффиц. при неизвестных

∆i – определитель полученный из главного путем замены i-столбца столбцом свободный членов

14. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Если система не решается методом обратной матрицы и с помощью пормул Крамера, то для таких систем применяетмя метод Гаусса, кот. еще наз. метод исключения переменных.

Схема реш. систем методом Гаусса:

1. составляем расширенную матрицу системы

2. приводим данную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

3. находим ранг матрицы

4. находим реш. системы, используя теорему Кронекера-Копелли

Матрица и дей-ия над ними

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы.

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]» или двойными прямыми линиями "||…||").

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной (к примеру a11 является элементом матрицы А).

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (aij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,

Операции над матрицами

Пусть aij — элементы матрицы A, а bij — элементы матрицы B.

Линейные операции:

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

bij = λaij

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

cij = aij + bij

Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой

cij = aij - bij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.cij = ∑ aikbkj k

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть . Умножение матриц не коммутативно.

Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: AT) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Если A — матрица размера , то AT — матрица раз мера