Определители квадратных матриц

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.

Матрицы.

Определение. Матрицей размера называется таблица чисел, состоящая из строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (например А, В, С), а элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией: , где – номер строки, – номер столбца.

Например, матрица ,

или в сокращенной записи , где ; .

Виды матриц.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)–строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)–столбцом: – матрица–строка;

– матрица–столбец.

Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно . Например, – квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы , у которых номер строки равен номеру столбца , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

–диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка и она обозначается буквой . Например, – единичная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для ; .

Например, если , то .

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для ; (то есть матрицы складываются поэлементно).

Например: , , .

3. Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

Пример.Вычислить произведение матриц ,где

; .

Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Вычислим элементы матрицы . Элемент получается при умножении -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы .

; ; ;

; ; .

Получаем .

4. Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы .

, .

Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .

Например: ; .

Определители квадратных матриц

Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.

Определитель матрицы обозначается или .

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент :

. Например, пусть , тогда .

Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Произведения и называются членами определителя второго порядка. Например, пусть , тогда .

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Рис. 1.

Это число представляет собой алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строка и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой (рис.1.), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Для вычисления определителей более высоких порядков потребуются некоторые дополнительные понятия.

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n–1)-го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Например, минором элемента матрицы третьего порядка будет:

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком : , т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число. Например, ; .

Для вычисления определителей квадратных матриц выше третьего порядка пользуются теоремой Лапласа.

Теорема Лапласа.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-й строки; );

(разложение по элементам j-го столбца; );

По свойствам определителей, определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Это свойство определителей и теорема Лапласа позволяют существенно упростить вычисление определителей высоких порядков. При вычислении определителей нужно преобразовать исходную матрицу так, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка:

.

Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем

.

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако, можно продолжить упрощение матрицы. "Обнулим" в матрице третьего порядка элементы 2-ой строки (кроме одного). Для этого элементы третьего столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:

.

Раскладывая по элементам второй строки и вынося общие множители, получаем:

.

Обратная матрица.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

.

Только квадратная матрица имеет обратную, причем тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы отличен от нуля.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица вырожденная и обратная матрица не существует. Если , то обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к .

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n) и составляем из них присоединенную матрицу (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

.

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Пример.Найти матрицу, обратную к данной:

.

1. Определитель матрицы , т.е. матрица – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к :

.

3. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :

; ; ;

; ; ;

; ; .

.

4. Вычисляем обратную матрицу :

.