Определители квадратных матриц и их свойства

Матрицы и определители. Основные понятия о матрицах.

Понятие матрицы и раздел математики, изучающий матрицы – матричная алгебра, имеет особо важное значение для экономистов, т.к. на использовании этого раздела построены многие экономические дисциплины: в частности «ЭММ и М», «Финансовая математика», «Эконометрика», «Оценка и анализ рисков».

Цель: освоение следующих вопросов:

1.Матрица–это прямоугольная таблица чисел, имеющая размерность (число строк и столбцов).

2.Квадратную матрицу можно связать с числом – ее определителем.

Задача: а) научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков;

б) уметь находить обратную матрицу и проверять правильность решения.

Определение. Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица из элементов любой природы, имеющая mстрок и n столбцов.  

Элементами матрицы могут быть числа, буквы, функции, рисунки, любые знаки.

а11 а12 …. а1n где i - номер строки, 1≤ i≤ m

А = а21 а22 …. а2n = (aij)mxn, j – номер столбца, 1≤ j≤ n

………………………

аm1 am2 …. amn m xn

Если m=n, матрица называется квадратной.

Если размерность матрицы 1x n A=(a1 a2 … an)1xn, матрица называется строчнойили вектор-строка.

Если размерность mx1 , матрица называется столбцевой (вектор - столбец).

b1

B = b2

….

bn mx1

Если все aij= 0, матрица называется нулевой: O = (о)mxn

aij= 0, i≠j

Если m=n и матрица называется диагональной

aij≠0 , i=j

Например,

2 0 0

А= 0 1 0

0 0 6

Если в диагональной матрице элементами диагонали являются единицы, матрица называется единичной и обозначается

1 0 …. 0

Е =0 1 …. 0

………………….

0 0 …. 1

Матрицы А=(aij)mxn и B=(bij)mxn называются равными, если они имеют одинаковую размерность и совпадают поэлементно.

A=B aij=bij

Операции над матрицами.

Над матрицами можно проводить все линейные операции, известные из курса алгебры. Причём, эти операции подчиняются всем законам линейной алгебры.

Сложение матриц.

Пусть А=(aij)mxnиB=(bij)mxn матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называется матрица С той же размерности.

C = A+B=( aij +bij)mxn

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А=(aij) на число k называется матрица

B=kА=(kaij)mxn

Эти операции подчиняются следующим свойствам:

1. А+В=В+А – переместительность.

2. А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность

3. А+0=А

4. kA=Ak

5. k(A+B)=kA+kB – распределительность относительно числового множителя.

6. (k1+k2)A=k1A+k2A – распределительность относительно матричного множителя.

7. k1Ak2=(k1k2)А=k1(Ak2)

Умножение матриц.

Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.

Пусть даны две матрицы А = (аij)mxр и В = (bij)pxn . Произведением этих матриц называется матрица С = (cij)mxn , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.  

… … …. … … bij

А = а21 а22 …. а2n - i - строка B = … b2j

……………………… ..……………

… bpjpxn

j - столбец

j столбец

Cmxn = Cij i строка

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aip bpj

Пример.

3 1 6 1 4 3*1+1*2+6*(-1) 12+3-6 - 1 9

0 -1 2 2 3 = 0*1+(-1)*2+2*(-1) 0-2-2 = - 4 -4

5 2 4 3 x3 -1 -1 3x2 5+4-4 20+6-4 3x2 5 22

Из определения произведения матриц следует, что не всякиематрицы можно умножать. А это означает, что из существования произведения АВ не вытекает существование ВА.

Действительно Bpxn*Amxp не имеет смысла, если m≠n.

Если перемножаемые матрицы квадратные, то существуют и АВ и ВА, но АВ≠ВА в общем случае, то есть переместительный закон не имеет места при умножении матриц. Другие известные законы справедливы.

1. (А + В)С = АС + ВС (без перестановки)

2. k(AB) = (kA)B = A(kB)

3. ABC = (AB)C = A(BC)

4. AE = EA, если Е, А – квадратные матрицы, одинаковой размерности.

5. Ap = A*A*A…A - (р раз)

Транспонирование матриц.

Если в матрице Amxn строки и столбцы поменять местами, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к исходной матрице.

а11 а21 …. am1

A'т = а12 а22 …. am2

…………………

а1n a2n …. amn nxm

Сама операция называется транспонированием.

1.(A')' = A 3.(A+B)' = A'+B'

2.(kA') = kA 4.(AB)' = B' A'

Определители квадратных матриц и их свойства.

A = (a11) ∆=|A| = a11

а11 а12 а11 а12

A2x2 = │А22│= = а11 а22 - а12 а21 – число, которое

а21 а22 а21 а22 называется определителем 2-го

порядка.

Для матрицы А3х3 вводится понятие определителя 3-го порядка

.

a11 а12 а13

∆ а21 а22 а23 = a11 a22 a33 + а12 а23 а31 + а21 а32 а1313 а22 a31 -

А31 а32 а33 - а23 а32 а11- а12 а21 а33

Для вычисления определителя используется правило треугольника

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

+ -

Аналогично определителю 3-го порядка вводится понятие определителя n-го порядка

Определение1. Если в определителе 3-го порядка вычеркнуть ряды, содержащие элементы aij, оставшиеся элементы образуют определитель 2-го порядка, который называется минором элемента aij.    

а22 а23

а11 М11= aij Mij

а32 а33

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, умноженный на (-1)i+j

aij Аij = (-1)i+j * Mij

для опреде для определителя любого порядка.

Например, a21 А21 = - M21, a31 А31 = M31

Теорема Лапласа. (Докажем для определителей 3-го порядка). Рассмотрим определитель ∆, сгруппировав попарно слагаемые, содержащие элементы какого-нибудь ряда, (например, 1-ой строки.)

∆ = а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 – а13а22а31 – а23а32а11 - а12а23а33 =

= а1122а33 – а23а32) – а1221а33 – а23а31) + а1321а32 – а22а31) =

а22 а23 а21 а23 а21 а22

= а11 - а12 + а13 = ∆

а32 а33 а31 а33 а31 а32

∆ = а11А11 + а12А12 + а13А13

Теорема. Всякий определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на свои алгебраические дополнения.

Свойства определителей.

1. В результате транспонирования величина определителя не меняется.

а11 а12 а13 а22 а32 а21 а31 а21 а31

∆ = а21 а22 а23 = а11 - а12 + а13 = ∆

а31 а32 а33 а23 а33 а23 а33 а22 а32

0 0 0

2. ∆ = а21 а22 а23 = 0

а31 а32 а33

3. Общий множитель элементов какого-нибудь ряда можно вынести за знак определителя.

а11 а12 а13

212223 = ka21A21+ ka22A22 + ka23A23 = k∆

а31 а32 а33

4. Если в определителе две строки (два столбца) поменять местами, определитель меняет знак на противоположный.

5. Если в определителе два столбца одинаковые, определитель равен нулю.

а12 а11 а13

∆ = а21 а21 а23 = -∆ (Если поменять 1 и 2 столбцы местами, св.4);

а31 а31 а33

6. Если в определителе элементы двух рядов пропорциональны, определитель равен нулю. Вытекает из свойств 3 и 5.

7. Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения другого ряда равна нулю.

Доказательство:

Рассмотрим определитель

а31 а32 а33

∆ = а21 а22 а23 = 0 (по свойству 5)

а31 а32 а33

Разложим этот определитель по элементам 1-й строки (теорема Лапласа). ∆ = a31А11 + а32А12+ а33А13 = 0. Здесь мы видим сумму произведений элементов третьей строки определителя ∆ и алгебраических дополнений 1-й строки, и эта сумма равна нулю.

8. Сумма произведений чисел b1, b2 , b3 на алгебраические дополнения любого столбца равна определителю, который получается из данного определителя заменой элементов этого столбца столбцом из чисел b1, b2, b3.

b1 а12 а13

b1A11+ b2A21 + b3A31 = b2 а22 а23

b3 а32 а33

9. Если элементы какого-нибудь ряда, умноженные на одно и тоже число, прибавить к соответствующим элементам другого ряда, величина определителя не изменится.

а11 а12 а13+k а11

а21 а22 а23+k а21 = (a13+ka11)A13+(a23+ka21)A23+(a33+ka31)A33=

а31 а32 а33+k а31

= a13A13+a23A23+a33A33+k(a11 A13+a21 A23+a31 A33)= ∆ + k0 = ∆

(из свойства 7)

10. Для квадратных матриц |AB|=|A|*|B|

Наши рекомендации