Дифференцирование сложных функций.

Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v: x = x (u, v), y = y (u, v). Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки

z = f ( x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u, не изменяя аргумент v. Тогда

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . (2.7)

Если же задать приращение только аргументу v, получим: Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . (2.8)

Разделим обе части равенства (2.7) на Δu, а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu→0 и Δv→0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . Следовательно,

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru (2.9)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x(t), y = y(t). Тогда функция f (x,y) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x(t) и y(t) ) , получить выражение для Дифференцирование сложных функций. - student2.ru :

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru (2.10)

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что Дифференцирование сложных функций. - student2.ru , получим, что Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . (2.11)

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная, в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

1. Пусть z = xy, где x = u² + v, y = uv². Найдем Дифференцирование сложных функций. - student2.ru и Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru Тогда из формулы (2.9) получим: Дифференцирование сложных функций. - student2.ru

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v).

2. Найдем полную производную функции z = sin (x + y²), где y = cos x.

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru

Инвариантность формы дифференциала.

Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x, y) , где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v:

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru (2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у, то есть является инвариантной (неизменной).

Лекция 3.

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

Определение 3.1. Функция у от х, определяемая уравнением

F (x, y) = 0 , (3.1)

называется неявной функцией.

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х. Например, уравнение эллипса

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru

задает у как двузначную функцию от х: Дифференцирование сложных функций. - student2.ru для Дифференцирование сложных функций. - student2.ru

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

1) функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике Дифференцирование сложных функций. - student2.ru с центром в точке (х0 , у0 );

2) F (x0 , y0 ) = 0 ;

3) при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);

б) при х = х0 эта функция принимает значение у0 : f (x0) = y0 ;

в) функция f (x) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х.

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того, Дифференцирование сложных функций. - student2.ru - непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . Тогда функция у от х имеет производную

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru (3.2)

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у. Зададим х приращение Δх, тогда функция y = f (x) получит приращение Δу . При этом F (x,y) = 0, F (x+ Δx, y+Δy) = 0, поэтому F (x+ Δx, y+Δy) – F (x,y) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x,y), которое можно представить в виде (2.2):

Дифференцирование сложных функций. - student2.ru .

Разделив обе части полученного равенства на Δх, выразим из него Дифференцирование сложных функций. - student2.ru : Дифференцирование сложных функций. - student2.ru .

В пределе при Дифференцирование сложных функций. - student2.ru , учитывая, что Дифференцирование сложных функций. - student2.ru и Дифференцирование сложных функций. - student2.ru , получим: Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . Теорема доказана.

Пример. Найдем Дифференцирование сложных функций. - student2.ru , если Дифференцирование сложных функций. - student2.ru . Найдем Дифференцирование сложных функций. - student2.ru , Дифференцирование сложных функций. - student2.ru .

Тогда из формулы (3.2) получаем: Дифференцирование сложных функций. - student2.ru .

Наши рекомендации