Лекция 18. Модели общего экономического равновесия.

Простейшая модель экономического равновесия.

Паутинообразная модель

Модель Эванса

Модель Эрроу – Гурвица

Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

Простейшая модель экономического равновесия.

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия, описываемую одним показателем y(t).

а) Опишем движение этой системы в непрерывном случае. Будем считать,

что скорость изменения показателя y(t) пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения : , причем . Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид .

б) Поведение в дискретном времени может быть описано с помощью разностного уравнения, связывающего величины y в соседние моменты времени, то есть y(t) и y(t-1) при начальном условии . Решением этой задачи является функция .

Это решение может быть найдено как сумма общего решения для однородного уравнения и частного решения при t=0.

Паутинообразная модель

Понятие равновесия экономической системы характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов. Существует много моделей установления равновесной цены на рынке одного товара.

Паутинообразная модель.

Рассмотрим рынок с одним – единственным продуктом, спрос на который характеризуется убывающей функцией совокупного спроса d(p), а предложение – возрастающей функцией совокупного предложения S(p). Эти функции определены и непрерывны при p>0. Будем считать, что

Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения (1). Уравнение (1) имеет единственное решение , так что равновесие единственно.

Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс “нащупывания” равновесной цены. Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена , при этом . Понижаем цену до уровня, на котором спрос равен предложению при первоначальной цене . При новой цене спрос превышает предложение . Повышаем цену до уровня , при котором и т.д.

Замечание.

Если график d(p) вогнутый, а график S(p) выпуклый, то описанный процесс сходится: .

Если же график S(p) вогнутый, то процесс будет расходящимся, хотя имеется единственное решение уравнения .

Модель Эванса.

В модели рассматривается рынок одного товара. Время t считается непрерывным. Пусть p(t) – цена товара в момент времени t.

Предположим выполненными условия:

1)Спрос и предложение являются линейными функциями цены

(спрос с ростом цены убывает)

(предложение с ростом цены растет)

2) (при нулевой цене спрос превышает предложение)

3) изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением .

Взаимодействие потребителей и производителей происходит так, что отражающая это взаимодействия цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: если спрос превышает предложение, то цена растет, если спрос ниже предложения, то цена падает.

Относительно цены p(t) получим дифференциальное уравнение.

, или , где , .

, , , ,

, , .

Окончательно, , .

Стационарная равновесная цена .

Модель Эрроу – Гурвица.

Рассмотрим модель функционирования рынка, основанную на теории общего равновесия. В качестве хозяйствующих субъектов, участвующих в процессе функционирования рынка, выберем два предприятия, каждое из которых располагая одним – единственным доступным им обоим ресурсом (например, трудом) производит по одному виду продукции конечного спроса и одного потребителя, предъявляющего этот спрос. Обмен осуществляется через единственного посредника – аукциониста.

Экономический цикл.

Введем обозначения:

- объем предложения i-го продукта i-м предприятием,

- объем спроса со стороны потребителя на i-й продукт,

- предложение ресурса (постоянная величина),

- объем спроса на ресурс со стороны i-го предприятия,

- производственная функция i-го предприятия,

- функция полезности потребителя.

Проблема оптимального распределения ресурсов формулируется следующим образом:

1) Условия спроса и предложения продукции: .

2) Условия спроса и предложения ресурсов .

3) Функция полезности, максимизируемая потребителем

Модель Эрроу – Гурвица – это постепенное приближение к решению описанной задачи путем интерактивного диалога (обмена информацией) между участниками процесса:

а) Аукционист указывает i-му предприятию цену на его продукцию и цену ресурса и сообщает потребителю цены и цену спроса, равную предельной полезности , .

б) Предприятие, исходя из заданных цен , выбирает такое сочетание затрат и результатов производства , которое максимизирует его прибыль и представляет это сочетание на рассмотрение аукциониста.

в) Потребитель предъявляет спрос на i-й продукт так: если на i-й продукт спроса нет или если предельная полезность потребления меньше предельных затрат, то потребитель оставляет величину спроса без изменений. В противном случае он корректирует спрос пропорционально разнице между предельной полезностью и предельными затратами и в результате указывает величину объема спроса .

г) Аукционист, руководствуясь законом спроса и предложения, изменяет цены. Если спрос на продукт выше предложения, он поднимает цену и наоборот.

При решении задачи оптимального распределения ресурсов используется градиентный метод Эрроу – Гурвица, процесс сходится всегда к одному и тому же равновесному решению. После того, как установлены цены равновесия, все предприятия составляют планы производства, основанные на полном распределении труда.

Блок-схема модели Эрроу – Гурвица.