Определение неопределенного интеграла и его основные свойства.

Если – первообразная функции на , то для функции

первообразными будет множество функций вида .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на и обозначается .

Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции. Для проверки правильности интегрирования надо взять производную от полученного результата, при этом должна быть получена подынтегральная функция. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование. Рассмотрим основные линейные и нелинейные свойства неопределенного интеграла:

Доказательство 2.

.

Таблица неопределенных интегралов.

1. , ,

2. , ,

3. ,

4. ,

5. , ,

6. , ,

7. , ,

8. ,

9. ,

10. , .

Основные методы интегрирования функций.

а) Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах неопределенного интеграла, применении таблицы интегралов и элементарных преобразований функций.

Пример 1. .

Пример 2. . Пример 3. .

б) Интегрирование по частям.

Теорема. Пусть и – две дифференцируемые функции на , тогда выполняется равенство .

Доказательство. Рассмотрим формулу . Интегрируя обе части равенства, получим или (*)

Эта формула позволяет свести нахождение к нахождению интеграла , который может оказаться более простым.

Замечания:

Формула (*) применима, если под интегралом одна из функций является алгебраической, другая – трансцендентной, причем если производная трансцендентной функции является также трансцендентной функцией, то за U принимают алгебраическую функцию, если же производная трансцендентной функции – алгебраическая функция, то за U принимают трансцендентную функцию.

За U обычно принимают функцию, которую трудно интегрировать.

Типы интегралов, берущихся по частям.

1) – многочлен, 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) .

Интегралы 5 и 6 берутся применением формулы (*) дважды. В результате получается уравнение относительно исходного интеграла. Если в формуле 6 за U взята функция , то при повторном интегрировании за U вновь принимаем .

Пример. в) Интегрирование методом замены переменной.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на , а функция имеет непрерывную производную на , причем при значение и существует обратная функция , тогда справедлива формула (1).

Пример.

Частным случаем теоремы 1 является

Теорема 2. Если , то .

Формулой (1) пользуются и справа налево, тогда этот метод называется методом «подведения функции под знак дифференциала».

Пример.

1. ,

2. .

Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.