Некоторые формулы комбинаторики

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех воз­можных перестановок определяется произведением чисел от единицы до п:

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе ?

Решение. Искомое число равно Р₄ = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Комбинации по т элементов, составленные из п различных элементов (m ≤ п), отличающиеся друг от друга либо эле­ментами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля ?

Решение. Искомое количество цифр

Комбинации, содержащие по т элементов каждая, состав­ленные из п различных элементов (m ≤ п) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

Можно показать, что справедливы формулы

В частности, первую из формул удобно использовать в расче­тах, когда т > п/2.

Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (17.1):

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать а) по три карты, б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

Решение. Искомое число способов:

Виды случайных событий

Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трактует­ся как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел — это испытание, попадание в мишень — это собы­тие. Другой пример: подбрасывание монеты вверх — это ис­пытание, выпадение орла (или решки) — это событие.

Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение орла при подбрасыва­нии монеты исключает появление в этом же испытании решки и наоборот.

Определение 2. Несколько событий образуют полную груп­пу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произве­дении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет ли­бо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.

Следствие. Если события, образующие полную груп­пу, попарно несовместны, то в результате испытания по­явится одно и только одно из этих событий.

Этот частный случай будет использован далее.