Классы интегрируемых функций
Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), дают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.
ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.
Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи.
По определению полагаем
как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.
Также по определению полагаем, что
поскольку при движении от b к а все длины частичных отрезков Δxi = xi-1 — xi имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).
2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:
Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.
Будем полагать далее, что а < b.
5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то
6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то
7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то
8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то
Основная формула интегрального исчисления
ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.
Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид
где С — произвольная постоянная.
Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой
где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем
Тогда из (7.9) имеем
Полагая х = b, получаем формулу
Равенство (7.10) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.
Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x) , т.е.
Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной согласно (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов.
Основные правила интегрирования