Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве.

Для решения задачи следует использовать следующие сведения

1.) Каноническое уравнение прямой

L: Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (1)

M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой L .

l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.

2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 , z1 ) и M2 (x2 ,y2 , z2),

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (2)

где (x 1,y 1 ,z 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ,z 2) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.

3.) Параметрическое уравнение прямой

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (3)

M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.

4.) Условие параллельности прямых

Рассмотрим две прямые

L1: Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

L2 : Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ,если прямая L1 параллельна L2 , то выполняется условие :

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (4)

5.) Условие перпендикулярности прямых

l 1 l2 + m1 m 2 +n1 n2 =0 (5)

6). Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D = 0 , (6)

где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.

7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M0 (x0,y0,z0), M1 (x1,y1,z1), M2 (x2,y2,z2)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (7) или

(x-x0) ((y1-y0)(z2-z0)-(y2-y0)(z1-z0)) – (y-y0) ((x1-x0)(z2-z0)-(x2-x0)(z1-z0))+

+(z-z0) ((x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0))=0

8). Условие параллельности плоскостей

Рассмотрим две плоскости

Р1: A1 x+B1 y+C1 z+D1=0

Р2:A2x+B2y+C2z+D2=0, если плоскость Р1 параллельна Р2, то выполняется условие :

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (8)

9.) Условие перпендикулярности плоскостей

A1 A2 + B1B 2 + C1 С2 =0 (9)

10.а) угол между плоскостями

A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 и A2 x+B2 y+C2 z+D2=0

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (10.а)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

10.б) угол между векторами

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru и Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (10.б)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

10.в) угол между прямой и плоскостью

прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (10.в)

11.) Расстояние между двумя точками

Даны точки А1 (x1,y1,z1) и А2 (x2,y2,z2), расстояние между ними:

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (11)

12.) Расстояние от точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости

A x+B y+C z+D=0 :

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (12)

13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , если Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , то

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (13)

Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.

14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (14)

знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 3.

Даны точки А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .

3.а.) Найти длину ребра А1 А2.

Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Длина ребра А1 А2 равна 3 .

3.б.) Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3.

Составим уравнение прямой проходящей через точки

А 1 (1,-1,-2) и А 4 (0,1,1), воспользуемся формулой(2)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),

Воспользуемся формулой (7)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки

А 4 (0,1,1) на плоскость А1А2А3.

Высота проходит через точку А 4 (0,1,1) иперпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (2) , то Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru уравнение искомой высоты.

или в параметрической форме (3)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

x=6t, y=1-8t, z=1+5t

3.г.) Найти площадь треугольника А1A2A3 с вершинами

А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),

Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru и Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru . Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

3.д) Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4 с вершинами

А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .

Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А1A2, А1A3, А1A4. Воспользуемся формулой (14)

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Задача 4.

4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

4.1. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.2. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4. 3. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.4. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4. 5. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.6. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4.7. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.8. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4.9. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.10. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4. 11. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.12. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4.13. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.14. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4.15. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.16. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4.17. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.18. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ;

4.19. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ; 4.20. А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Указания к задаче 4: собственные числа и собственные векторы

Число Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru называется собственным числом квадратной матрицы А n-ого порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ= Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru Х.

Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

(А - Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru Е) = 0.

Задача 4.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

А = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А - Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru Е, где Е – единичная матрица, Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru –независимая переменная.

А – Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru Е = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ruУказания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru = Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru . Получаем:

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть

Х= Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А - Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru Е) = 0 выглядит так:

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

или

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru (1)

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru система (1) принимает вид:

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Общее решение этой системы Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , где Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , имеет вид

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

При Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru система (1) принимает вид:

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru

Общее решение этой системы Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , где Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru любое число.

Пусть, например, Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , имеет вид

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Аналогично при Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru получаем систему

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ,

общее решение которой Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , где Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru любое число.

Пусть Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , имеет вид

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Ответ: Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru ,

Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru , Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. - student2.ru .

Наши рекомендации