Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве.
Для решения задачи следует использовать следующие сведения
1.) Каноническое уравнение прямой
L: 
(1)
M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой L .
l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.
2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 , z1 ) и M2 (x2 ,y2 , z2),
(2)
где (x 1,y 1 ,z 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ,z 2) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.
3.) Параметрическое уравнение прямой
(3)
M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.
4.) Условие параллельности прямых
Рассмотрим две прямые
L1: 
L2 : 
,если прямая L1 параллельна L2 , то выполняется условие :
(4)
5.) Условие перпендикулярности прямых
l 1 l2 + m1 m 2 +n1 n2 =0 (5)
6). Общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz+D = 0 , (6)
где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.
7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки
M0 (x0,y0,z0), M1 (x1,y1,z1), M2 (x2,y2,z2)
(7) или
(x-x0) ((y1-y0)(z2-z0)-(y2-y0)(z1-z0)) – (y-y0) ((x1-x0)(z2-z0)-(x2-x0)(z1-z0))+
+(z-z0) ((x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0))=0
8). Условие параллельности плоскостей
Рассмотрим две плоскости
Р1: A1 x+B1 y+C1 z+D1=0
Р2:A2x+B2y+C2z+D2=0, если плоскость Р1 параллельна Р2, то выполняется условие :
(8)
9.) Условие перпендикулярности плоскостей
A1 A2 + B1B 2 + C1 С2 =0 (9)
10.а) угол между плоскостями
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 и A2 x+B2 y+C2 z+D2=0
(10.а)
10.б) угол между векторами
и 
(10.б)
10.в) угол между прямой и плоскостью
прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0
(10.в)
11.) Расстояние между двумя точками
Даны точки А1 (x1,y1,z1) и А2 (x2,y2,z2), расстояние между ними:
(11)
12.) Расстояние от точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости
A x+B y+C z+D=0 :
(12)
13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , если 
, 
, то
(13)
Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.
14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах
, 
, 
(14)
знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.
Задача 3.
Даны точки А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
3.а.) Найти длину ребра А1 А2.
Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.
Длина ребра А1 А2 равна 3 .
3.б.) Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3.
Составим уравнение прямой проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2) и А 4 (0,1,1), воспользуемся формулой(2)
; 
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Воспользуемся формулой (7)
уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра
3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки
А 4 (0,1,1) на плоскость А1А2А3.
Высота проходит через точку А 4 (0,1,1) иперпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали 
.
Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. 
(2) , то 
уравнение искомой высоты.
или в параметрической форме (3)
x=6t, y=1-8t, z=1+5t
3.г.) Найти площадь треугольника А1A2A3 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)
; 
, 
3.д) Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А1A2, А1A3, А1A4. Воспользуемся формулой (14)
, , 
Задача 4.
4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
4.1. А = 
; 4.2. А = 
;
4. 3. А = 
; 4.4. А = 
;
4. 5. А = 
; 4.6. А = 
;
4.7. А = 
; 4.8. А = 
;
4.9. А = 
; 4.10. А = 
;
4. 11. А = 
; 4.12. А = 
;
4.13. А = 
; 4.14. А = 
;
4.15. А = 
; 4.16. А = 
;
4.17. А = 
; 4.18. А = 
;
4.19. А = 
; 4.20. А = 
.
Указания к задаче 4: собственные числа и собственные векторы
Число 
называется собственным числом квадратной матрицы А n-ого порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ= Х.
Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .
Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения 
, которое называется характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
(А - Е) = 0.
Задача 4.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
А = 
.
Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А - Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.
А – Е = – 
= 
.
При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения 
. Получаем:
, 
, 
.
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть
Х= 
– искомый собственный вектор.
Тогда система однородных уравнений (А - 
Е) = 0 выглядит так:
или
(1)
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При 
система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы 
, где 
любое число.
В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, 
, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
При 
система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы 
, где 
любое число.
Пусть, например, 
, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Аналогично при 
получаем систему
,
общее решение которой 
, где любое число.
Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу 
, имеет вид
.
Ответ: , , ,
, , .