Комбинаторика и бином ньютона.

Докажите по индукции следующие формулы:

117.Формула для суммы квадратов:

118.Формула для суммы кубов:

119.Формула для суммы нечётных квадратов:

120.-- для знакопеременной суммы квадратов:

121.Доказать формулу: =

Как мы уже с вами доказывали, если А - множество, состоящее из n элементов, а В - множество из m элементов, то число всевозможных отображений из А в В равно mⁿ. Также мы уже знаем, что если А и В - множества, состоящие каждое из n элементов, то число всех различных биекций А на В равно n!. Это число всех перестановок элементов множества из n элементов. Пусть теперь А - множество из k элементов, В - множество из n элементов, n³k. Число всех различных инъективных отображений из А в В, называется числом размещений из n по к и обозначается как .

122.Докажите, что =n(n-1)×××(n-k+1)= . Полагаем по определению 0!=1!=1.

Это число всевозможных упорядоченных наборов по к элементов из имеющихся n различных элементов. Число же неупорядоченных наборов по к элементов из имеющихся n различных, называемое числом сочетаний из n по к и обозначается, как и как .

123. Докажите, что C = .

Эти числа называются также биноминальными коэффициентами ввиду следующей формулы, называемой формулой бинома Ньютона. То, что эта формула имеет место, также легко доказывается по индукции.

124.(а+b)ⁿ= .

Для биноминальных коэффициентов справедливы следующие формулы:

125.a) C = C ; b) C = C + C ; c) =2ⁿ и d) =0

126.Докажите, что элементами треугольника Паскаля являются биноминальные коэффициенты.

127.Чему равна сумма всех коэффициентов многочлена (1-2х)¹⁰⁰, приведённого к стандартному виду?

128.Тот же вопрос для многочлена (1+х-у)⁹⁹, приведённого к стандартному виду.

Литература.

[1] Л. Э. Медников «Чётность», МЦНМО, М, 2009

[2] Т.А. Баранова, А.Д. Блинков и др. «Олимпиада для 5-6 классов. Весенний турнир Архимеда» МЦНМО, М, 2003.

Blaise Pascal - французский математик, физик, литератор и философ,

родился в 1623 году в семье председателя налогового управления. В 1631 году, после смерти матери, семья переехала в Париж.

Его отец Этьен самостоятельно занимался образованием мальчика и сам неплохо разбирался в математике, однажды открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля». Отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, Этьен кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углём выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника.

В 1634 году за обеденным столом кто-то зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Но стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках».

С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна. Здесь он познакомился с Дезаргом. В 1639 году он доказал теорему Паскаля: если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой. Этот результат и 400 следствий из него Паскаль изложил в виде трактата «Эссе о кониках» (не сохранился), который сейчас отнесли бы к проективной геометрии.

В январе 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан. В эти годы здоровье Паскаля, и без того неважное, стало ухудшаться. Тем не менее, он продолжал работать.

Отец Блеза служил в Руане интендантом Нормандии и часто занимался утомительными расчётами. Паскаль задумал создать устройство, которое могло бы помочь этой работе.
В 1642 году Паскаль начал создание своей суммирующей машины «паскалины».
Машина Паскаля выглядела как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колёс. До 1652 года Паскаль построил около 50 вариантов своей машины. Несмотря на вызываемый ею всеобщий восторг, машина не принесла дохода своему создателю. Однако изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства арифмометров.

В 1646 году семья Паскаля, в том числе его сестра Жаклин Паскаль, приняла веру общины янсенистов, которых католическая церковь осудила как еретиков. Паскаль испытывает сомнения: не являются ли его научные изыскания греховным и богопротивным занятием? Однако до поры до времени он не оставляет свои исследования.

В 1647 году, несмотря на болезнь ног, Паскаль завершил «опыты, касающиеся пустоты» и доказал, что в природе нет так называемого «страха пустоты». Он изучал равновесие жидкости под действием атмосферного давления. Исходя из своих открытий, Паскаль изобрел гидравлический пресс, намного

опередивший технологию того времени. Филипп де Шампень. Блез Паскаль

Экспериментируя с барометром, Паскаль выясняет, что давление воздуха падает с высотой. Результаты опытов он изложил в книге «Новые опыты, касающиеся пустоты». Паскаль вошёл в историю физики, установив основной закон гидростатики, и подтвердил предположение Торричелли о существовании атмосферного давления.

В 1651 году отец, Этьен Паскаль, умер. Сестра Жильберта вышла замуж, младшая сестра, Жаклин, ушла в монастырь Пор-Рояль. Привычная жизнь Паскаля закончилась. Ему вдруг захотелось вырваться из храма науки, чтобы вкусить «прелестей» жизни. Свет встретил прославленного учёного с распростертыми объятиями. Знакомства с власть имущими, свободный вход в аристократические салоны, азартные игры,— вот что занимало Паскаля на протяжении нескольких лет. Эти занятия остались не без пользы для науки. В 1654 году, в переписке с Пьером де Ферма, на примерах из разных азартных игр закладываются основы теории вероятностей.

В комбинаторике исследованы свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчёту числа сочетаний. У Паскаля множество планов на будущее. В письме Парижской академии он сообщает, что готовит фундаментальный труд под названием «Математика случая». Всё изменила одна роковая ночь.

24 ноября 1654, в половине одиннадцатого ночи, Паскаль, по его словам, пережил мистическое озарение свыше. Придя в себя, он тут же записал откровение на кусочек пергамента, который был зашит им в подкладку своей одежды. С этой реликвией Паскаль не расставался до самой смерти, после чего друзья и обнаружили её. Это событие коренным образом изменило жизнь Паскаля. Он совершенно прекращает занятия наукой как греховные. Единственным исключением стало фундаментальное исследование циклоиды (как рассказывали друзья, он занялся этой проблемой, чтобы отвлечься от зубной боли). Отныне он становится апологетом янсенизма и отдаёт все силы литературе, направив своё перо на защиту «вечных ценностей». Совершает паломничество по парижским церквям (он обошёл их все). Поселяется рядом с сестрой в монастыре (1655), где сочиняет «Письма к провинциалу»— блестящий образец французской литературы, содержащий яростную критику иезуитов и пропаганду истинных моральных ценностей, излагаемых в духе рационализма. «Будем же учиться хорошо мыслить: вот основной принцип морали»— призывает Паскаль.

«Письма» были опубликованы в 1656—1657 годах под псевдонимом и вызвали немалый скандал. Вольтер писал: «Делались попытки самыми различными способами показать иезуитов отвратительными; Паскаль сделал больше: он показал их смешными».

В 1657 году Гюйгенс издаёт книгу «О расчётах в азартной игре», первое руководство по теории вероятностей. Там приведены многие результаты Ферма и Паскаля.

С 1658 года здоровье Паскаля быстро ухудшается. Одолевает физическая слабость, появились ужасные головные боли. Гюйгенс, посетивший Паскаля в 1660 году, нашёл его глубоким стариком, хотя Паскалю было всего 37 лет. Врачи запретили ему любые умственные нагрузки, но больной умудрялся записывать всё, что приходило ему в голову, буквально на любом подручном материале. После смерти Блеза друзья-янсенисты нашли целые пачки таких записок, перевязанных бечёвкой, которые были ими расшифрованы и изданы книгой под названием «Мысли». В основном они посвящены взаимоотношению Бога и человека, а также апологетике христианства в янсенистском понимании.

«Мысли» вошли в классику французской литературы, а Паскаль стал единственным в новой истории великим литератором и великим математиком одновременно.

19 августа 1662 года после мучительной, продолжительной болезни Блез Паскаль скончался.