Независимые и зависимые события
Определение 1.Событие В называется независимым от события А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет.
Определение 2.Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.
Пример 1(с шарами).В урне 4 белых и 8 чёрных шаров. Испытание заключается в том, что последовательно вынимаются 2 шара. Событие А – первый вынутый шар белый, В – второй вынутый шар белый. Тогда Р(А) равна 1/3, а Р(В) зависит от того, какого цвета первый вынутый шар, т.е. события А и В зависимы. Действительно, после того, как событие А произошло, т.е. вынули белый шар, в урне осталось 11 шаров, из них 3 белых. Следовательно, вероятность того, что 2-й вынутый шар окажется белым, будет равна 3/11. Если же событие А не произошло, то вероятность события А будет другой (если первый вынутый шар оказался чёрным, то вероятность события В равна 4/11). Если произошли оба события А и В, это означает, что произошло событие АВ (оба вынутых шара белые). Вычислим вероятность события АВ, не прибегая к понятию зависимых событий.
Заметим, что условие данной задачи равносильно следующему: из урны вынимаются сразу 2 шара. Вероятность события АВ (оба вынутых шара белые) можно вычислить, не прибегая к понятиям зависимых событий, по формуле (4.4.1) задачи о выборке - для выборки 2 шаров из 12 (N=12, M=4, n=2, m=2):
Условная вероятность
Определение.Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).
Так, в последнем примере можно записать: Р(А)=1/3; P(B/A)=3/11.
Событие А может происходить раньше события В или одновременно с ним.
Условие независимости события В от события А можно записать в виде:
Р(В/А)=Р(В), (5.3.1)
а условие зависимостиВ от А – в виде:
Р(В/А)¹Р(В). (5.3.2)
Условная вероятность определяется следующим образом:
. (5.3.3)
Умножение вероятностей
Теорема умножения вероятностей.Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ)=Р(А)×Р(В/А). (5.4.1)
Доказательство следует непосредственно из определения условной вероятности (5.3.3).
Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (5.4.1) можно распространить на произведение любого числа событий. Для трех событий:
Р(АВС)=Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ),
где последний множитель означает вероятность события С при условии, что А и В произошли. Для п событий:
Р(А1А2...Аn)=Р(А1)Р(А2/А1)…Р(Аn/А1А2…An-1) (5.4.4)
Пример.На полоске картона написали слово «математика», полоску разрезали на квадратики, содержащие по одной букве. Квадратики тщательно перемешали. Какова вероятность того, что из взятых по одному и выложенных в ряд 4 квадратиков можно получить слово «тема»?
Обозначим события, заключающиеся в появлении букв, этими же буквами:
Р(Т)=2/10=1/5; Р(Е/Т)=1/9; Р(М/ТЕ)=2/8=1/4; Р(А/ТЕМ)=3/7.
По формуле (5.5.4)
Р(ТЕМА)=1/5×1/9×1/4×3/7=1/420.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Доказательство. ЕслиВ не зависит от А, то Р(В/А)=Р(В) (формула (5.3.1)). Подставим в (5.4.1):
Р(АВ)=Р(А)×Р(В). (5.4.5)
Замечание. Равенство (5.4.5) можно рассматривать как определение независимости событий А и В.
Пример. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Испытание заключается в том, что последовательно вынимаются 2 шара. Изменим условие примера, приведенного в параграфе 5.3 (независимые и зависимые события). Пусть после фиксирования цвета первый шар возвращается в урну, и шары перемешиваются. Событие А – первый вынутый шар белый. Событие В – второй вынутый шар белый. Чему равна вероятность того, что оба вынутых шара белые?
События А и В независимы. Вычислим их вероятности по классической схеме: Р(А)=Р(В)=4/12=1/3.
Вероятность произведения АВ вычислим по формуле (5.4.5):
Р(АВ)=1/3×1/3=1/9.
Заметим, что вероятность в этом случае больше (по сравнению с 1/11), т.к. при втором вынимании было больше белых шаров.
Вычислим вероятность появления двух белых шаров без возврата первого шара (пример 5.3.1 с шарами). По формуле (5.4.1)