Дифференциальная геометрия и топология

1. Кривые в пространстве (способы задания кривых; плоские кривые; касательная и нормаль; кривизна; пространственные кривые; кривизна и кручение; сопровождающий трехгранник Френе; формулы Френе).

2. Поверхность и её уравнения (различные способы задания поверхностей; касательная плоскость и нормаль к поверхности; классификация точек поверхности).

3. Понятие топологического пространства (замыкание, внутренность и граница; метрические пространства как пример топологических пространств).

4. Непрерывные отображения топологических пространств (гомеоморфизм; понятие топологического свойства: связность, компактность; критерии компактности в метрических пространствах (в R; в C [a,b])).

Основания геометрии

1. Аксиоматический метод. Аксиоматическое построение евклидовой геометрии (системы аксиом Гильберта и Вейля). Геометрия Лобачевского. Модель Кэли-Клейна.

Дифференциальные уравнения

1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Интегрируемые типы уравнений (уравнения с разделяющимися переменными; линейные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения Бернулли).

2. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений: теорема существования и единственности решения задачи Коши и методы ее доказательства; теоремы о характере зависимости решения от параметров и начальных данных (приводятся формулировки этих теорем и выясняется их роль в теории дифференциальных уравнений).

3. Принцип суперпозиции для линейных уравнений и систем (приводятся формулировки соответствующих теорем и даются доказательства не менее двух из них; выясняется их роль в теории линейных дифференциальных уравнений). Метод Лагранжа для уравнений и систем (излагается сущность метода, приводится доказательство соответствующей теоремы для уравнения или системы (по выбору)).

4. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения и его общее решение (приводятся формулировки и доказательства). Фундаментальная система решений линейной однородной системы и общее решение этой системы.

5. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (излагается метод решения и дается обоснование этого метода соответствующими теоремами). Решение линейных систем с постоянными коэффициентами.

6. Первые интегралы дифференциальных систем и основные теоремы о них.

Уравнения математической физики

1. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Понятие корректности задачи для уравнений математической физики. Пример Адамара.

2. Задачи Коши. Метод характеристик. Формула Даламбера.

3. Смешанная задача. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.

4. Гармонические функции и их свойства. Задачи Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для круга.

Теоретическая механика

1. Способы задания движения точки. Вычисление скорости и ускорения материальной точки при различных способах задания движения.

2. Основные теоремы динамики точки: теорема об изменении кинетической энергии, теорема об изменении количества движения и теорема об изменении кинетического момента.

3. Уравнения Лагранжа второго рода для системы материальных точек.

Методика преподавания математики и информатики

1. Методы обучения в информатике.

2. Методика введения действительного числа.

3. Методика введения понятия функции.

4. Методика обучения основным принципам работы на персональном компьютере. Программное обеспечения школьных персональных ЭВМ.

Методы вычислений и вычислительный практикум

1. Интерполирование функций (постановка задачи; единственность интерполяционного многочлена; формула Лагранжа).

2. Численное интегрирование (квадратурные формулы трапеций и Симпсона; погрешность).

3. Одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Вариационное исчисление и методы оптимизации

1. Симплекс-метод (критерий оптимальности, алгоритм).

2. Принцип Лагранжа снятия ограничений (для задач с ограничениями в виде равенств).

ЛИТЕРАТУРА

Математический анализ

1. Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.пособие в 2-х томах, 3-е издание. М., Наука, 1983.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник в 2-х т. М. Высш.школа. 1981.

3. Зорич В.А. Математический анализ: Учебник в 2-х т. М.: Наука, 1981, 1984.

4. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 319 с.