Рудницкая 3 класс, 2ч, с 54 – 55, № 205 – 207.

Билет №17 1. Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в основе. Примеры заданий из учебников математики для начальной школы, раскрывающих теоретические основы данных алгоритмов. Кроме алгоритмов письменного сложения и вычитания, изучаемых в курсе математики в начальной школе, также изучается алгоритм письменного умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления. Следует отметить, что алгоритм письменного умножения многозначных чисел подразделяется на следующие этапы: 1. умножение многозначного числа на однозначное 2. умножение многозначного числа на степень числа 10 3. сложение многозначных чисел Отсюда сначала рассмотрим алгоритм письменного умножения многозначного числа на однозначное. В основе этого алгоритма лежат следующие положения: - представление числа в десятичной системе счисления - свойство действий умножения и деления - табличное умножение однозначных чисел Рассмотрим указанные теоретические положения на конкретном примере: 231* 3 (представление числа в десятичной системе счисления) ==== (2 * 102 + 3 * 101 + 1) * 3 (дистрибутивный закон умножения относительно сложения) === (2*102)*3 + (3*10)*3 + 1*3 (коммутативный и ассоциативный законы умножения) === (2*3)*102 + (3*3)*10 + 1*3 (табличное умножение однозначных чисел) === 6*102 + 9*10 + 3 (представление числа в десятичной системе счисления) === 693. Для того, чтобы упростить указанную запись, которая представляет собой алгоритм письменного умножения многозначного числа на однозначное, предлагается представить эту запись в следующем виде, называя его письменным умножением многозначного числа на однозначное в столбик Алгоритм письменного умножения многозначного числа на однозначное: 1. второй множитель записываем под первым 2. умножение начинаем с разряда единиц: число единиц разряда единиц первого множителя умножаем на второй множитель. Если полученный результат < 10, записываем его в разряд единиц произведения. Если полученный результат >= 10, то представляем его в виде 10 * q + c, где с – однозначное число. С записываем в разряд единиц произведения, а q запоминаем. 3. переходим к умножению в следующем разряде; если необходимо полученный результат увеличиваем на q и повторяем один из записанных процессов. 4. умножение считаем законченным, если умножили на однозначное число единицы старшего разряда первого множителя. Умножение числа на степень числа 10, как известно, сводится к тому, что к десятичной записи числа приписывается справа столько нулей, сколько указано показателей степени числа 10. Если мы будем рассматривать умножение числа на число у*10k, где у – однозначное число (300 = 3*102), то сначала многозначное число умножается на однозначное у, а затем справа к полученному произведению приписывается столько нулей, сколько соответствует показателю k. Разберем на конкретном примере умножение в столбик трехзначного числа на двузначное: Сначала умножаем число 231 на 2 и получаем 462. Далее мы умножаем 231 на 30. Для этого 231 мы сначала умножаем на 3, а затем к полученному числу прибавляем справа 0. Полученное произведение записываем под первым произведением, смещая его на один разряд влево. Это смещение подразумевает факт умножения числа на степень числа 10. Полученные числа 462 и 693 называют неполными произведениями. Потом эти числа складываются по правилу сложения многозначных чисел в столбик, и получается ответ. *Во втором неполном произведении можно было записать цифру 0, но т.к. при прибавлении 0 к любому числу значение числа не меняется, то принято этот 0 не писать, но если учитель чувствует, что эта подсказка имеет значение, то можно его записать.

При письменных вычислительных приемах выполнение действия начинается с наименьших разрядов, а при устных со старших разрядов

.

Алгоритм письменного умножения представлен в том или ином виде в программе по математике для начальных классов по всем методикам. Обучение его происходит по всем методикам, но с некоторыми отличиями, в частности также как и изучение алгоритмов письменного сложения и вычитания по разным учебникам происходит в разные периоды. Если изучение алгоритма письменного умножения по Моро происходит уже в период изучения математики в концентре 1000, то Истомина предлагает изучение алгоритма значительно позднее. Изучение алгоритма по учебнику Истоминой наиболее рационально, т.к. там достаточно большое количество заданий по формированию умений письменного сложения, когда в учебнике Моро таких примеров очень мало.

Билет 18

Определение сложения натуральных чисел. Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел. Правило вычитания числа из суммы, его теоретико-множественная интерпритация. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих смысл суммы натуральных чисел.

Сложение натуральных чисел – это объединение конечных непересекающихся множеств. (если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В, пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4).

Теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(A), b = n(B): а + в = n(A) + n(B) = n(A È B), если А Ç В = Æ.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы достаточно вычесть это число из любого слагаемого и полученному результату прибавить оставшееся слагаемое(другое, которое еще не задействовано).

Теор.множ.трактовка этого правила:

Для трех конечных мн-в А, В и С, таких, что а=n(А), в=n(В) и с=n(С), A B= Ø, С А

имеет место равенство: (А U В) \ С=(А\С) В, из этого следует, что число элементов в этой разности n((А В) \ С) равно разности элементов из объединения – число элементов во мн-ве С: n((А В) \ С)=n(А\C) B) = (а+в)-с=(а-с)+в n(А\C)+n(В) = (а-с)+в

Билет 19

1) Натуральное число, как результат измерения положительной скалярной величины. Смысл суммы и разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих смысл суммы и разности натуральных чисел – мер величин.

1. Натуральное число как результат измерения положительной скалярной величины.

Величина есть одно из первоначальных понятий математики.

Под величиной следует понимать особое свойство некоторых объектов и явлений.

Различают однородные и разнородные величины.

Под однородными величинами следует понимать те, которые выражают одинаковые свойства различных объектов и явлений (ширина, длинна, расстояние).

Свойства однородных величин:

1) Однородные величины можно сравнивать.

2) Однородные величины можно складывать, вычитать (из большего меньшее), умножать на положительное действительное число. В результате получается величина того же рода.

3) Однородные величины можно делить. В результате получится число.

Однородные величины: площадь треугольника и площадь квадрата; длина, ширина, расстояние.

Разнородные величины: площадь квадрата и длина диагонали прямоугольника.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярнойвеличиной.

Если при выбранной единице скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной (являются: длинна, площадь, объем, масса, стоимость и количество товаров и др).

Под измерением величин следует понимать процесс сравнения измеряемой величины с другой величиной того же рода, которую приняли за единицу величины (единичную величину). В результате проведенного сравнения находят некоторое действительное число, которое называют мерой измеряемой величины при выбранной единице величины (численное значение величины при выбранной единице величины).

Мера величины А, при выбранной единице величины Е:

Обозначение: m_Е(А)

А=т_Е(А)*Е

А - заданная величина.

m - мера величины

Е - единичная величина.

1)(А>В)<=>(m_Е(А)>m_Е(В))

(А<В) <=>(m_Е(А)<m_Е(В))

(А=В) => (m_Е(А)=m_Е(В))

2) (С = А + В)<=> (m_Е(C)=m_Е(F)+m_Е(B))

C – есть такая величина, которая равняется сумме величин А и В. Тогда, …

3) А=х*В <=> (m_Е(А)=х*m_Е(В))

… произведению положительного действительного числа Х на величину В.

х?R⁺

Под натуральным числом, полученным в результате измерения величин, следует понимать меру этой величины при выбранной единице величины.

Натуральное число показывает, сколько раз единичный отрезок укладывается в измеряемом отрезке, причем это натуральное число единственное.

Для каждого натурального числа можно построить отрезок, мера длины которого равняется этому натуральному числу при выбранной единице длины. В обратную сторону

- неверно, т.е. не для всякого отрезка можно указать такое натуральное число, которое будет мерой его длины при выбранной единице длины.

Смысл суммы и разности натуральных чисел, полученных в результате измерениявеличин.

Сумма:

Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются

натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Отсюда следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и b.

а+b=m_Е(Y)+m_Е(Z)=m_Е(Y+Z)

Разность:

Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка 2 равна разности мер длин отрезков х и у.

Отсюда следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z+у=х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка

у равна b.

а-b=m_Е(Х)-m_Е(Y)=m_Е(Х-Y)

Билет 20

1. Определение умножения натуральных чисел через сложение. Теоретико-множественный смысл произведения. Словесные формулировки свойств умножения, изучаемых в начальной школе. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл умножения натуральных чисел.

Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).