Метод замены переменной (метод подстановки).
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:
(1)
Пусть заданный интеграл 
не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную 
: 
. Тогда 
, 
, т.е. 
.
□ Найдем производные по переменной от левой и правой части; 
, 
. Т.к. 
, то эти производные равны, поэтому по следствию Лагранжа левая и правая части (1) отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■
Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.
Пример.Найти 
.
Решение. 
.
Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).
Теорема. Пусть 
некоторая первообразная для функции 
. Тогда если вместо аргумента 
подынтегральной функции 
и первообразной 
подставить выражение 
, то это приведет к появлению дополнительного множителя 
перед первообразной: 
, где 
и 
- некоторые числа, 
.
□ Перепишем 
в виде: 
. Но 
. Вынося постоянный множитель 
за знак интеграла и деля левую и правую части равенства на , приходим к 
.■
Алгоритм вычисления:
1) Делаем замену.
2) Дифференцируем замену 
.
3) Под знаком интеграла переходим к новой переменной.
4) Находим табличный интеграл.
5) Возвращаемся к старой переменной.
Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.
Пусть 
и 
- дифференцируемые функции от 
х. Имеем: 
, откуда 
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получим: 
, или
.
Это и есть формула интегрирования по частям.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение 
представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и 
(последний обязательно содержит 
) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:
1) при отыскании из выражения для ;
2) при отыскании интеграла от 
.
Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.
Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца.
Пример. Найти 
.
Решение. 
Пример. Найти 
.
Решение. 
.
Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы интегрирования по частям:
 , где  - многочлен  |  |
 |  |
 |  |