Метод замены переменной (способ подстановки)

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .
В данном примере множитель , стоящий под знаком интеграла, есть производная от выражения , стоящего в числителе, следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,

.
Тогда:

.
Ответ: .

ВОПРОС№35: Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование дробно-рациональных функций.

Рассмотрим правильную дробь

Представим знаменатель в следующем виде: .

Здесь – действительные корни многочлена, а -их кратности. Дискриминанты квадратных многочленовn являются отрицательными числами, то есть

Сумма кратностей

Теорема о разложении правильной дроби на сумму простейших дробей

(без доказательства). Верно разложение

Здесь – некоторые вполне определенные числа.

С учетом этой теоремы задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию выражений следующего вида:

I.

II.

Пусть квадратный многочлен px q имеет отрицательный дискриминант, то есть .

III.

Далее,

IV.

Первый интеграл, стоящий в правой части этого выражения, имеет вид интеграла из пункта II.

Обозначим и рассмотрим второй интеграл L(k)= .

Второй интеграл в этом выражении интегрируем по частям

Следовательно, будем иметь

Из этого рекуррентного соотношения можем вычислить любой интеграл L(k).

Пусть теперь в ( ) n m. Тогда, разделив числитель на знаменатель, представим ( ) в виде +правильная дробь.

ВОПРОС№36:Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем этот отрезок

Точками a=x0<x1<...<xi<xi+1<...<xn=b.

Назовем диаметром этого разбиения число d= max( – ), i=1, …. n-1.

Возьмем [ ] и составим сумму )( которая называется интегральной суммой.

Определение.Число I называется пределом интегральных сумм ( )( ) при диаметре разбиения d , если для такое, что для всех разбиений с диаметром d < и для любого набора точек выполняется неравенство

Теорема.Если предел интегральных сумм существует, то он единственен.

Доказательство.Предположим, что существуют два предела .

Возьмем любое число . Тогда для всех разбиений с достаточно малым диаметром неравенство ( ) выполняется и для I1, и для I2. Следовательно, Устремим , получим противоречие .

Определение.Предел интегральных сумм ( )( ) называется определенным интегралом и обозначается .

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим задачу об определение площади криволинейной трапеции aABb (см. рис.).

Заменим криволинейную трапецию системой прямоугольников. Суммарная площадь этих прямоугольников определяется формулой ( )( ). Предел интегральных сумм ( )( ) при диаметре d и назовем площадью криволинейной трапеции. Итак, геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции aABb.