Метод замены переменной
Пример 6.
Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Примеры вычисления интегралов
Вычисление площадей плоских фигур.
Для вычисления площадей плоских фигур применяется определенный интеграл.
Чтобы вычислить площадь плоской фигуры надо:
1) выполнить рисунок;
2) определить границы фигуры, площадь которой надо найти;
3) вычислить площадь фигуры.
Рассмотрим всевозможные случаи.
Пример 1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
, 
(ось х).
Решение.
Выполним построение фигуры, ограниченной параболой и осью Ох. Построим параболу , ветви которой направлены вниз (коэффициент перед 
равен (-1) ). Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Для этого решим уравнение 
,
получим 
.
(кв.ед.)
Границы интегрирования были уменьшены на основании свойства определенного интеграла.
Пример 2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
, , 
, 
.
Решение.
Искомая площадь ограничена полуволной синусоидой и осью Ох.
(кв.ед.)
Пример 3.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
, , 
.
Решение.
Построим прямые и х=4. Фигура, ограниченная указанными линиями, располагается ниже оси Ох.
(кв.ед.)
Пример 4.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
, 
и .
Решение.
Выполним построение фигуры. Запишем функции в привычном виде
и 
. Для них составим таблицы :
для первой
| х | -4 | |
| у |
для второй
| х | ||
| у |
Найдем точку пересечения прямых, для этого составим и решим систему уравнений
Получим х=2, у=3. На рисунке это точка М(2;3).
Искомая площадь фигуры состоит из суммы площадей двух треугольников АМN и СМN.
Вычислим площадь каждого из них и сложим полученные результаты.
.
Площадь всей фигуры будет:
(кв.ед.)
Пример 5.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
, 
.
Решение.
Данная фигура ограничена параболой и прямой .
Найдем точки пересечения прямых, для этого составим и решим систему уравнений
Получим х=0, х=2.
(кв.ед)
Рассмотрим еще несколько примеров решения задач:
Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: 
, x=-1, x=2 и осью OX.
Решение: данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).
 |  Ответ: 6 кв.ед. |
Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x 
[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.
     |   (2) |
Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции 
и осью OX.
Решение: данная фигура расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу.
 |  Ответ: 1/6 кв.ед. |
Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
.
 | Решение: данная фигура представляет собой разность криволинейных трапеций Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и x2=1.  . Можно записать под один интеграл:  Ответ: 4,5 кв.ед. |
Пример 5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.
Решение: данная фигура представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S1+S2, где 
и 
. Получим формулу:
      |  Ответ:  кв.ед. |