Свойства операций сложения и умножения матриц

1) . 5) .

2) . 6) .

3) . 7) .

4) .

8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.

9) , где - единичная квадратная матрица.

10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .

Пример. , , но .

5. Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведениематриц, равных, т.е. .

6. Транспонирование матриц.

Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

, ,

т.е. если имеет размер , то имеет размер .

Свойства операции транспонирования.

1) . 3) .

2) . 4) .

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Определители и их свойства

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу, необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , , .

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

Пример.Вычислить определитель матрицы . Р е ш е н и е. .

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:

Пример. Вычислить определитель . Р е ш е н и е. .

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка (определитель -го порядка).

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. Зачеркнем элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца. В результате получается матрица порядка . Пусть дана матрица n-го порядка:

.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Например минором матрицы 3-го порядка будет:

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :

.

Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

.

Р е ш е н и е:

,	,	,
,	,	,

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; ).

(разложение по элементам -го столбца; ).

Пример.Вычислить определитель разложением по элементам

а) 1-й строки; б) 1-го столбца.

Р е ш е н и е. а) , б) .

Свойства определителей

1.Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число ,то ее определитель умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.

3.При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4.При перестановки двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6.Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8.Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9.Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где , а и - матрицы -го порядка.

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления для определителей высоких порядков. При этом с помощью свойств 1-9 желательно преобразовать исходную матрицу таким образом, чтобы она имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом вычислить определитель, разложенный по этой строке (столбцу).