Производная функции по параметру

Определим производную функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

·

производная суммы есть сумма производных.

· — здесь

дифференцируемая скалярная функция.

·

дифференцирование скалярного произведения.

· дифференцирование векторного произведения.

· дифференцирование смешанного произведения.

Вопрос.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна

Пример 1

Вычислить производную функции . Решение. Применяем логарифмическое дифференцирование:

Пример 2

Найти производную функции . Решение. Прологарифмируем обе части и затем продифференцируем.

Пример 3

Вычислить производную функции . Решение. Возьмем логарифм от обеих частей: Теперь продифференцируем левую и правую части:

Пример 4

Продифференцировать . Решение. Сначала возьмем логарифм от обеих частей: Дифференцируя левую и правую части соотношения, получаем Следовательно, производная равна

Вопрос.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x₀ называется критической точкой функции f(x), если

1) x₀ – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f'(x₀)=0 или f'(x₀) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x₀– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак, то x₀ – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.

4. Найти производную функции и ее критические точки.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

4)

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x³-3x²+4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

4)

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции : f(x)=x³-3x²+4

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

3) Из чисел и 4 наибольшее , наименьшее 4.

Ответ:

4.Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20см, имеющего наименьшую диагональ.

Решение:

Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d - его диагональ. Тогда a+b=10. По теореме Пифагора d²=a²+b². По условию задачи a>0,b>0. b=10-a>0, значит 0 < a < 10.
d²=a²+(10-a)²=2a²-20a+100, 0< a < 10.

Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения а, при котором функция d(a)=2a²-20a+100 принимает наименьшее значение на интервале 0 < a <10.

Найдем производную d'(a)=4a-20.

Критическая точка .

a=5 точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функция d(a) на интервале (0;10) принимает в точке a=5. При этом b=5.

Ответ: 5см, 5см.

Вопрос.

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка

График 3.2.3.1. Выпуклая вверх функция

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция fвыпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называетсяточкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то