Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые

Если у = f(u) и u = u(x), то есть Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru . Аргумент u часто называют промежуточной переменной. Это правило выполняется для сложной функции, которая имеет конечное число промежуточных аргументов. Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , если f(u) , u(v) и v(x) - дифференцируемые.

Формулы дифференцирования основных функций

1. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru 8. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

2. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru 9. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

3. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru 10. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

4. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru 11. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

5. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

6. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru 12. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

7. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru 13. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Примеры. Найти производные функций:

1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1

Решение. Используя правила и формулы дифференцирования, получаем: Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru (х4 – 2х3 + 3х + 1)' = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

2. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Решение. Поскольку Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , то Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

3. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Решение. Имеем произведение функций, поэтому Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

4. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Решение. Данная функций является сложной: у = f(u) , u = u(x), где u = х2 + 2х..

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Дифференцирование неявно заданных функций

Равенство Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru обозначает у как неявную и дифференцированную функцию от х. Продифференцировав по х обе части равенства, получим линейное, относительно Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru равенство, из которого получим значение Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Пример. Найти Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , если у > -5:

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru (1)

Решение. Поскольку у функция от х, то у2 – сложная функция и Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru . Продифференцируем обе части равенства по х:

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru (2)

Подставляя в равенство (1) х = 0, получим

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

откуда

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Поскольку у > -5, то Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru . Используя (2), имеем Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции:

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

В некоторых случаях предварительное логарифмирование значительно упрощает дифференцирование функции, а для функции вида Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru есть единственно возможным способом дифференцирования.

Примеры:

Найти производную функции Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Решение: Логарифмируя обе части равенства получаем

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , откуда

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Поэтому, Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Найти производную показательно-степенной функции Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Решение: Имеем Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Производные высших порядков.

Производную Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru или Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru называют производной первого порядка функции f(x). Производная Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru называется производной второго порядка и обозначается одним из символов: Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru . В общем виде производную n –го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной порядка (n – 1), то есть Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru . Обозначения, например: Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Пример. Найти производную n –го порядка функции у = cos x.

Решение. Последовательно дифференцируя, получим:

у = cos x = сos(x+0 Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru )

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru x = cos(x+1 Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru )

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru x = cos(x+2 Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru )

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru x = cos(x+3 Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru )

……………………………….

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru cos(x+n Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru ), n= Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Параметрически заданные функции и их дифференцирование

Первую производную функции, заданной параметрически

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

находим по формуле Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Вторую производную удобно вычислять по формуле: Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Пример. Найти производную второго порядка функции Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Решение. Согласно формуле: Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Далее, Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме.

Теорема. Пусть функции Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru и Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru определенные и дифференцируемые в окружности точки Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , за исключением, возможно, самой точки а, и пусть Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru в этой окружности. Если функции Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru и Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru и к тому же существует отношение производных Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , то существует также предел Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , причем эти пределы равны между собой: Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Теорема справедлива и в том случае, когда Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru . Если производные Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru и Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям, что и функции Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru и Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , то Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Теорема дает возможность раскрыть неопределенность типа Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , которые будем называть основными. Чтобы раскрыть неопределенности типа 0, Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru необходимо вначале привести их к основным и применить правило Лопиталя.

Пример.

1. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

2. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru = Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

3. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

4. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

5. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru

Откуда, Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

6. Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru , действительно,

Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Напомним, что во многих случаях пользуемся равенством Производная сложной функции. Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые - student2.ru .

Наши рекомендации