Свойства степени с рациональным показателем.

Основное соотношение

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Функция arcsin

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

График функции Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Функция Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru является строго возрастающей.

  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru при Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru при Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru (область определения),
  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru (область значений).

9.
Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Определение:
Арксинусом числаа называется угол из отрезка Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , синус которого равен числу а.

Свойство арксинуса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Определение:
Аркосинусомчислаа называется угол из отрезка Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , косинус которого равен числу а.

Свойство арккосинуса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru


Определение:
Арктангенсом числаа называется угол из интервала Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , тангенс которого равен числу а.

Свойство арктангенса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Определение:
Арккотангенсом числаа называется угол из интервала Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , котангенс которого равен числу а.

Свойство арккотангенса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

10.Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс, cos, sin, tg, ctg, тригонометрические уравнения, частные формулы тригонометрических уравнений

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a;cos x = a;tg x = a;ctg x = a, где x - переменная, a Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

11. Пусть Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru и Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .

Вместо слова «корень» часто говорят радикал . Если n = 2, то обычно пишут просто: Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем , при n = 3 говорят о кубическом корне .

Итак, по определению:
Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Отсюда следует, что Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Например, Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

се свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Доказательство.Введем следующие обозначения: Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Итак, Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.

12.Определение. Степенью числа a>0 с рациональным показателем Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , где m - целое число, а n - натуральное ( n>1), называется число Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , т.е.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства

Решение

1. Из формулы Эйлера (11) следует, что

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

2. Применяя формулу Эйлера два раза, получим

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

18..28.1. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z11+iy1 и z22+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). (28.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

  • z1+z2=z2+z1
  • (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Непосредственно из рисунка видно, что |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Это соотношение называется неравенством треугольника.

Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:

z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2). (28.2)

Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Непосредственно из рисунка видно, что |z1-z2|≥|z1|-|z2|. Отметим, что

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0=2i, т. е. окружность с центром в z0=2i и радиусом 1.

19.Аксиома 1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.  

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

20.

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точкуАпроходит плоскость, и притом только одна.   Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

21.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.   Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Определение 2.1.

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Определение 2.2.

Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися .

Теорема 2.1.

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

24.

Признак параллельности прямых
 
 
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну. Это утверждение сводится к аксиоме о параллельных в плоскости. Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Падо доказать, что b || с. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Случай, когда прямые а, b и слежат и одной плоскости, рассмотрен в планиметрии, его опускаем. Предположим, что а, b и с не лежит в одной плоскости. Но так как две параллельные прямые расположены в одной плоскости, то можно считать, что а и b расположены и плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , a b и с -- в плоскости (рис. 61). На прямой с отметим точку (любую) М и через прямую b и точку M проведем плоскость Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Она, Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , пересекает по прямой l. Прямая l не пересекает плоскость Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , так как если l пересекала бы Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , то точка их пересечения должна лежать на а (а и l — в одной плоскости) и на b (b и l — в одной плоскости). Таким образом, одна точка пересечения l и Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru должна лежать и на прямой а, и на прямой b, что невозможно: а || b. Следовательно, а || Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , l || а, l || b. Поскольку a и l лежат в одной плоскости , то l совпадает с прямой с (по аксиоме параллельности), а значит, с || b. Теорема доказана.

25.Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Доказательство

Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

26.

Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

27.Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Теорема

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Доказательство

Проведем в данной плоскости α какие-нибудь две пересекающиеся прямые a и b. Через данную точку A проведем параллельные им прямые a1 и b1. Плоскость β, проходящая через прямые a1 и b1, по теореме о признаке параллельности плоскостей параллельна плоскости α.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Предположим, что через точку A проходит другая плоскость β1, тоже параллельная плоскости α. Отметим на плоскости β1 какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости β. Проведем плоскость γ через точки A, С и какую-нибудь точку B плоскости α. Эта плоскость пересечет плоскости α, β и β1 по прямым b, a и с. Прямые a и с не пересекают прямую b, так как не пересекают плоскость α. Следовательно, они параллельны прямой b. Но в плоскости γ через точку A может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. что противоречит предположению. Теорема доказана.

28.Свойства параллельных плоскостей

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru   Вели α∥β и они пересекаются с γ, тоа∥b. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

29. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. c. m. k. k. m. c. k. Пересекающиеся. Скрещивающиеся.

30.

Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Доказательство:Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Тогда прямая а проходит через точкуА пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Проведем произвольную прямую х через точкуА в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2).по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямаяа перпендикулярна плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Теорема доказана.

31.32

Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Доказательство: Пусть а1 и а2 - 2 параллельные прямые и Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru произвольную прямую х2 в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Проведем в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru через точку А1 пересечения прямой а1 с Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , то прямые а1 и x1перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . А это ( по определению)значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Теорема доказана. Смотри также опорную задачу №2.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Доказательство: Пусть а и b - 2 прямые, перпендикулярные плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Допутим, что прямые а и b не параллельны. Выберем на прямой b точкуС, не лежащую в плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Проведем через точку С прямую b1, параллельную прямой а. Прямая b1 перпендикулярна плоскости Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru по теореме 2. Пусть В и В1 - точки пересечения прямых b и b1 с плоскостью Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru . Тогда прямая ВВ1 перпендикулярна пересекающимся прямым b и b1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

33.Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.

Формулировка теоремы

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Доказательство

Пусть AB — перпендикуляр к плоскости α, AC — наклонная и c — прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.

Основное соотношение

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Функция arcsin

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

График функции Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Функция Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru является строго возрастающей.

  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru при Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru при Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru (область определения),
  • Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru (область значений).

9.
Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Определение:
Арксинусом числаа называется угол из отрезка Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , синус которого равен числу а.

Свойство арксинуса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Определение:
Аркосинусомчислаа называется угол из отрезка Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , косинус которого равен числу а.

Свойство арккосинуса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru


Определение:
Арктангенсом числаа называется угол из интервала Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , тангенс которого равен числу а.

Свойство арктангенса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Определение:
Арккотангенсом числаа называется угол из интервала Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , котангенс которого равен числу а.

Свойство арккотангенса от отрицательного угла:

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

10.Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс, cos, sin, tg, ctg, тригонометрические уравнения, частные формулы тригонометрических уравнений

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a;cos x = a;tg x = a;ctg x = a, где x - переменная, a Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

11. Пусть Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru и Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .

Вместо слова «корень» часто говорят радикал . Если n = 2, то обычно пишут просто: Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем , при n = 3 говорят о кубическом корне .

Итак, по определению:
Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Отсюда следует, что Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Например, Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

се свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Доказательство.Введем следующие обозначения: Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru
Итак, Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.

12.Определение. Степенью числа a>0 с рациональным показателем Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , где m - целое число, а n - натуральное ( n>1), называется число Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru , т.е.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Свойства степени с рациональным показателем.

Свойства степени с рациональным показателем. - student2.ru

Наши рекомендации