Свойства степени с рациональным показателем

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

am *an = a(m+n);

am : an = a(m-n) ( при a не равном нулю);

(am)n = a(m*n);

(a*b)n = an *bn;

(a/b)n = (an)/(bn) (при b не равном нулю);

a1 = a;

a0 = 1 ( при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то am > an, при a>1 и am

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (am)n = a(m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a(m/n))n = am.

Это равенство означает, что число a(m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа am.

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m – некоторое целое число, n – некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(am). Исходя из определения: a(m/n) = n√(am).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a(m/n) = a((mk)/(nk)).

Например: 134(3/4) = 134(6/8) = 134(9/12).

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число ar будет положительным.

Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем.

Степени с действительными показателями

Пусть дано положительное число Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru и произвольное действительное число Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru . Число Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru называется степенью, число Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru — основанием степени, число Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru — показателем степени.

По определению полагают:

  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru , Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .

Если Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru и Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru — положительные числа, Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru и Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .
  • Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru .

Свойства степени с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем
На степени с действительными показателями переносятся все свойства степеней с рациональными показателями.
1) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru
2) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru
3) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru
4) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru
5) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru
6) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru
7) Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru при любом действительном x,
8) пусть Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru Если Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru то Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru если Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru то Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru

Понятие логарифма числа

Логарифмом числа

B по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получилось число b.

Обозначение:

loga b.

Читаем: "логарифм от b по основанию a".

Основное логарифмическое тождество

Это основное логарифмическое тождество.

Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

Основные свойства логарифмов

Основные свойства логарифмов

Свойства степени с рациональным показателем - student2.ru

Наши рекомендации