ВОПРОС №18: Вертикальные и наклонные асимптоты
Асимптота - это прямая к которой график будет приближаться, но никогда её не пересечёт...она проходит параллельно оси у или х.
Вертикальные асимптоты
1. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то x = a –
вертикальная асимптота. В частности, если , тоx = a –
вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.
2. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если , , то x = a - вертикальная асимптота. В частности,
если , , то x = a - вертикальная правосторонняя
асимптота; если же , , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
1.
2.
Наклонные асимптоты
1. Линия задана уравнением y = f(x).
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота.
При этом
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота
вправо,
Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота
влево,
1. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t).
Если (a - конечное число либо один из символов( ) и линия обладает асимптотой y = kx + b,
то
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
1.
2.
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!
ВОПРОС№19: Определение и основные теоремы о непрерывных функциях.
Определение: Функция f(x) , определённая в окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если существует её передел в этой точке и выполнено равенство:
Теорема (о знаке непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и непрерывна в этой точке. Пусть . Тогда в некоторой окрестности этой точки .
Теорема(о непрерывности суммы, разности, произведения и частного функций).Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда в этой точке непрерывна их сумма, разность, произведение. Если , то непрерывна в точке будет частное .
Теорема (о предельном значении непрерывной функции на сходящейся последовательности). Путь функция f(x)определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Тогда для любой числовой последовательности выполнено равенство
Теорема( о непрерывности сложной функции). Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки и непрерывна в этой точке. Пусть функция z=F(y) определена в окрестности y0=f(x0) и непрерывна в этой точке. Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая является непрерывной в точке .
Теорема( о нуле непрерывной на отрезке функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и в концах этого отрезка она принимает значение разного знака. Тогда она обращается в нуль в некоторой точке этого отрезка.
Теорема (об ограничении непрерывной на отрезке функции) Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, то есть
Теорема (Вейерштрасса).Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , в которой функция принимает наибольшее(наименьшее) значение, то есть
.
Теорема (о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке . Обозначим M(m) максимальное(минимальное) значение на этом отрезке. Тогда для любого числа найдётся точка такая , что f(t)=p.