А. Вертикальные асимптоты.

Напомним, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции у=у(х), если хотя бы один из пределов А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru или А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru равен бесконечности. Прямая х=а может быть (а может и не быть) вертикальной асимптотой только, если а - точка разрыва функции.

В исследуемой функции имеются две точки разрыва. При стремлении к этим точкам знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель к ненулевой конечной величине. Следовательно, выражение будет стремиться к бесконечности. Знак бесконечности можно определить из таблицы интервалов знакопостоянства функции. Например, в окрестности точки х=-1 (x<-1) функция положительна. Следовательно

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru = А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

Аналогично:

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru = А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ;

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru = А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ;

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru = А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

Б. Наклонные асимптоты. (Горизонтальные асимптоты мы также относим к наклонным).

Напомним, что прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=y(x) при x®+¥, если А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

Достаточные условия существования асимптот и формулы для нахождения параметров k и b имеют вид.

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ; А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет асимптот при x®+¥. Аналогично определяется асимптота при x®-¥.

В исследуемой задаче асимптоты при x®-¥ и при x ®+¥ одинаковы. Поэтому мы будем рассматривать предел при x ®¥.

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=-x.

С этого момента на черновике можно начинать строить схему графика. Нанесем точки пере­сечения с осями координат, асимптоты и поведение функций около асимптот.

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума.

Напомним достаточные условия возрастания (убывания) на отрезке.

Если производная функции положительна (отрицательна) во всех точках отрезка, то функция возрастает (убывает) на этом отрезке.

Необходимые и достаточные условия экстремума были сформулированы ранее.

Найдем производную функции.

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru .

А. Интервалы возрастания, убывания функции.

Определим интервалы знакопостоянства производной, они же интервалы возрастания и убывания функции.

Интервалы знакопостоянства производной определяются по той же схеме, что и ранее определялись интервалы знакопостоянства функции.

Производная имеет точки разрыва при х=-1, х=1.

Выясним, где производная равна нулю: А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ; А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ; х=0, А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru , x= А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru . А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru

Точки х=-1, х=1, х=0, А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru , А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru разбивают числовую ось на 6 интервалов. Как и ранее определяем знак производной на каждом интервале. По знаку производной делаем вывод о характере поведения функции на интервале (возрастание или убывание). Результаты удобно свести в таблицу. В таблице

А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru знак указывает на возрастание функции, знак на убывание.

x А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru (-1;0) (0;1) (1; А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ) ( А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru ;¥)
- + + + + -
А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru А. Вертикальные асимптоты. - student2.ru y              

Наши рекомендации