Понятия спектральной плотности

При решении практических задач, связанных с линейным преобразованием стационарных случайных процессов целесообразно пользоваться понятием спектральной плотности или операторной спектральной плотности. Применяя одностороннее преобразование Лапласа, линейную операцию можно записать в виде:

, (4.8)

где H(p) – передаточная функция линейной системы.

Передаточную функцию можно трактовать как изображение процесса на выходе системы, если на её вход поступает импульсная функция первого порядка (функция Дирака - ). Действительно, согласно теореме умножения изображений (теореме Бореля) [2] оригинал выражения (4.8) может быть представлен в виде:

, (4.9)

где - оригинал H(p).

Изображение функции Дирака – H(p)=1. Следовательно, изображением процесса на выходе в этом случае согласно (4.8) будет .

Получим выражения для определения математического ожидания и корреляционной функции процесса на выходе линейной системы при использовании понятия операторной спектральной плотности процесса на входе.

Выражение (4.9) в случае стационарного процесса на выходе системы можно переписать в виде:

. (4.10)

Введем в (4.10) новую переменную Тогда этот интеграл запишется как:

. (4.11)

Согласно (4.11)

. (4.12)

В случае стационарного процесса m_X=const. Поэтому

. (4.13)

Но Следовательно и

. (4.14)

Получим выражение для корреляционной функции на выходе линейной системы.

Используя выражение (4.10), будем иметь

. (4.15)

Выразим спектральную плотность процесса на выходе системы через взаимную спектральную плотность процессов на выходе и входе системы.

(4.16)

Для того, чтобы получить связь между и запишем в виде (4.10):

. (4.17)

Взаимная спектральная плотность при этом определится как

(4.18)

При выражение (4.18) записывается следующим образом:

. (4.19)

Таким образом операторная спектральная плотность процесса на выходе системы определяется как

(4.20)

Взаимные операторные спектральные плотности процессов на входе и выходе системы будут:

, . (4.21)

Пример. Определить математическое ожидание и корреляционную функцию процесса на выходе линейной системы, приведенной на рис.4.1, если математическое ожидание процесса на входе , а корреляционная функция этого процесса .

Операторная спектральная плотность процесса на входе будет . Рассматривая в контуре рис.4.1. случайный процесс как напряжение, полу

Рис.4.1. чим .

Следовательно, , .

При t>0 полюса - , . При t<0 - , . Используя выражение (3.11) и (3.12), будем иметь:

при >0,

при <0.

Или, объединяя оба выражения, получим

. (4.22)

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С АНАЛИЗОМ И

СИНТЕЗОМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Постановка задачи

Задача анализа является прямой задачей; задача синтеза – обратной.

Прямая задача. На вход системы поступает не только полезный сигнал X(t), но и помеха U(t) (рис.5.1).

Рис.5.1.

При решении задачи анализа заданы вероятностные характеристики процессов на входе системы (полезного и помехи), а также передаточная функция линейной системы. Требуется определить вероятностные характеристики ошибки на выходе, обусловленной зашумленностью полезного процесса.

Задача синтеза системы может быть решена при двух её постановках.

Во-первых, структура системы может быть задана и требуется определить её параметры, исходя из минимизации ошибки на выходе системы.

Во-вторых, требуется определить саму структуру линейной системы, при которой ошибка на выходе системы будет минимальна.