Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса.

Анализ спектров случайных процессов имеет свои особенности. Во-первых простое вычисление спектра с использованием ДПФ не представляет интереса, так как получается лишь спектр одной случайной реализации процесса. Поэтому для спектрального анализа случайных сигналов необходимо использовать усреднение спектра. Во-вторых, использование среднего значения спектральной плотности сигнала по формуле ДПФ неприемлемо, так как для случайных сигналов с нулевым средним среднее значение спектральной плотности сигнала равно нулю:

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru .

Таким образом, усредненное значение спектральной плотности сигнала не несет никакой информации о случайной составляющей случайного процесса. По этой причине при спектральном анализе случайных сигналов рассматривают спектральную плотность мощности (СПМ) случайного процесса.

Спектральная плотность мощности дискретного случайного процесса, полученная с использованием ДПФ, с точностью до несущественного постоянного множителя может быть записана следующим образом:

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru (2.1)

После перехода от номера частотного дискрета ДПФ к аргументу частоты можно получить исходную форму периодограммной оценки СПМ:

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru (2.2)

Недостатком периодограммной оценки СПМ записанного вида является отсутствие операции усреднения для вычисления математического ожидания. Поэтому полученная периодограмма будет иметь сильно изрезанный вид. Кроме того, дееюдается известное явление «размывания» спектра.

Для усреднения и сглаживания исходной периодограммной оценки известны три метода:

- метод Даньелла;

- метод Барлетта;

- метод Уэлча.

Метод Даньелла основан на усреднении значений СПМ в пределах смежных спектральных частот:

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru , (2.3)

где Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru - сетка частот;

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru - количество точек усреднения;

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru .

Таким образом, происходит уменьшение количества просматриваемых частот от максимального значения Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru к меньшему количеству Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru за счет объединения соседних частотных дискрет.

В соответствии с методом Барлетта сглаживание обеспечивается за счет усредения значений СПМ, полученных для Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru коротких неперекрывающихся временных сегментов длительностью Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru :

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru ,

где Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru - номер отсчета в пределах каждого сегмента.

В сумме все сегменты составляют исходную последовательность длительностью Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru . Соответственно, периодограммная оценка по методу Барлетта описывается выражением:

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru , (2.4)

где Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru - выборочная СПМ.

Периодограмма Уэлча использует модифицированную методику Барлетта за счет применения весовой функции в пределах каждого сегмента и использования перекрывающихся сегментов. Весовая функция ослабляет влияние боковых лепестков за счет некоторого ухудшения разрешающей способности. Перекрытие сегментов позволяет увеличить число усредняемых сегментов и уменьшить результирующую дисперсию оценки СПМ. Уэлчем разработана эффективная вычислительная процедура для реализации метода на основе использования БПФ. Метод Уэлча дееется самым распространенным методом спектрального анализа.

Метод Уэлча организуется следующим образом:

1) Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты (как правило, перекрытие 50%).

2) Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию.

3) Для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы (вместо числа отсчетов Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru в знаменателе используют сумму квадратов модулей коэффициентов окна):

Периодограммная оценка спектральной плотности мощности дискретного случайного процесса. - student2.ru . (2.5)

4) Периодограммы всех сегментов усредняются.

Наши рекомендации