Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы.
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
- уравнение эллипса.
- уравнение “мнимого” эллипса.
- уравнение гиперболы.
a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
y2 = 2px – уравнение параболы.
y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Окружность:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).
Эллипс.
Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .
Фокусаминазываются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;b – малая полуось.
Теорема.Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a2 = b2 + c2.
Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:
a2 = b2 + c2
r1 + r2 = 2a.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
е = с/a.
Т.к. с <a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатияэллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатиемэллипса.
Гипербола.
Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .
Теорема.Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.
(x – c)2 + y2 = r2
Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:
Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.
Итого: .
Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.
Парабола.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметромпараболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Сфера: .
24.Последоваетльность. Предел последовательности. Число е.
Определение: Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число xn, тогда говорим, что задана числовая последовательность (xn). Числовые последователдьности записывают также (xn)=x1 ,x2 ,x3….
xn– называют n-нымили общим членом последовательности.
Определение.Число называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется условие:
Это записывается: limxn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходитсяка при n®¥.
Если при нахождении пределов получается , то оно наз. неопределённостью. Для нахождения таких пределов требуется раскрытьнеопределённость. Последовательности, имеющие конечный предел наз. сходящимися.
Свойство:Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Необходимое условие сходимости даёт: если последовательность (xn)сходится, то она ограничена.
Достаточное условие сходимости даёт: если последовательность (xn) ограничена и монотонна, то она сходится.
Теорема.Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.
xn®a; xn®b; a¹b.
Тогда по определению существует такое число e>0, что
Запишем выражение:
А т.к. e- любоечисло, то , т.е. a = b. Теорема доказана.
Теорема.Если xn®a, то .
Доказательство. Из xn®a следует, что . В то же время:
, т.е. , т.е. . Теорема доказана.
Теорема.Если xn®a, то последовательность {xn} ограничена.Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предела, хотя
Число е- нерациональное, е ≈ 2,7. В математике число е играет важную роль. Логарифмы по основанию е наз. натуральными.