Вывод уравнения эллипса

Дано: эллипс с фокусами и , – большая полуось, – половина расстояния между фокусами.

Возьмем за ось абсцисс прямую , а точку поместим на середине отрезка . Пусть – произвольная точка плоскости. Пусть , .

По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда

. (7)

Координаты фокусов равны соответственно , , следовательно

, .

Подставим и в (7):

+ = . (8)

(8) – уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду = и возведем в квадрат обе части уравнения:

;

; возведем в квадрат еще раз:

;

.

Обозначим , получим .

После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:

. (9)

Эллипс, определяемый уравнением , симметричен относительно и . - центр эллипса, и - большая и малая полуоси эллипса.

При получаем - уравнение окружности.

Определение. Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси: . (10)

Так как , следовательно < 1.

, следовательно, .

Определение. Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называется директрисами эллипса.

Их уравнения: и . Так как , следовательно, .