Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы

Кривые второго порядка определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru имеет вид:

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . (5.17)

Для любого уравнения (5.17) три величины

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru (5.18)

сохраняются при переносе и повороте осей координат (являются инвариантами). Эти инварианты определяют свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.

Классификация кривых второго порядка, основанная на их инвариантах:

1) эллипс при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

2) окружность при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru или Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

3) точка (эллипс, выродившийся в точку) при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

4) ни одной действительной точки при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

5) гипербола при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

6) пара пересекающихся прямых (выродившаяся гипербола) при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

7) парабола при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ;

8) пара параллельных прямыхилиодна прямая (пара совпавших прямых) или ни одной действительной точки при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru .

Таким образом, уравнение (5.17) может задавать эллипс (частный случай – окружность), гиперболу, параболу (невырожденные кривые второго порядка) или пустое множество точек, одну точку, одну прямую, пару прямых (вырожденные кривые).

Уравнение кривой второго порядка подходящим переносом начала отсчета и поворотом осей координат может быть приведено к каноническому (или стандартному) виду.

Эллипс– геометрическое место точек (ГМТ), сумма расстояний которых до двух данных точек Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , называемых фокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии эллипса (рис. 5.12), то его уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение эллипса):

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , (5.19)

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru

где Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – фиксированная сумма расстояний фокусов Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru до любой точки эллипса Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru (см. рис. 5.12), Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – расстояние между фокусами (фокусное расстояние), Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Отрезки Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , отсекаемые эллипсом на его осях симметрии, есть длины большой и малой осей эллипса, точки Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – вершиныэллипса, точка Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – его центр. Величина Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru называется эксцентриситетомэллипса, а Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – коэффициентом сжатия эллипса.

Эллипс, центр которого не совпадает с началом координат, но большая и малая оси которого параллельны соответственно осям координат Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , задается общим уравнением (5.17), в котором Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ( Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru одного знака).

Если эксцентриситет Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru (оба фокуса находятся в начале координат, т. е. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и, следовательно, Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ), имеем частный случай эллипса – окружность радиуса Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Общее уравнение (5.17) при Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru задает окружность, если Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Общее уравнение окружности радиуса Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru можно привести к виду:

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ,

где точка Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – центр окружности.

Пример. Записать каноническое уравнение эллипса, если сумма расстояний произвольной его точки до фокусов равна 10, а фокусное расстояние равно 8.

◄ По условиям Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Находим Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Подставляя найденные значения Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru в (5.19), получаем искомое каноническое уравнение эллипса: Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . ►

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru Гипербола– ГМТ, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , называемых фокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии гиперболы (рис. 5.13), то ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение гиперболы):

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , (5.20)

где Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – фиксированная абсолютная величина разности расстояний фокусов Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru до любой точки гиперболы Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru (см. рис. 5.13), Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – расстояние между фокусами (фокусное расстояние), Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Отрезок, отсекаемый левой и правой ветвями гиперболы на оси Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , есть длина действительной оси гиперболы, равная Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , точки Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – вершины гиперболы. Мнимой осью называется ось (ось Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ), перпендикулярная к действительной оси (ось Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ). Две прямые, проходящие по диагоналям прямоугольника со сторонами Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru с центром в центре гиперболы (начале координат) (см. рис. 5.13), являются асимптотами гиперболы. С этими прямыми гипербола неограниченно сближается при неограниченном возрастании абсолютной величины координаты Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru точки гиперболы. Уравнения асимптот гиперболы Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Вершины гиперболы касаются вертикальных противоположных сторон прямоугольника.

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru Гипербола, центр которой не совпадает с началом координат, но действительная и мнимая оси которой параллельны соответственно осям координат Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , задается общим уравнением (5.17), в котором Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ( Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru разных знаков).

Уравнение Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru задает на плоскости гиперболу, сопряженнуюк гиперболе, уравнение которой имеет вид (5.20). На рис. 5.14 представлены такие сопряженные гиперболы.

Пример. Гипербола задана каноническим уравнением Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Найти ее фокусное расстояние и расстояние между вершинами (длину действительной оси).

◄ Из уравнения имеем Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Для гиперболы Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , отсюда для фокусного расстояния будем иметь Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Расстояние между вершинами гиперболы равно Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . ►

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru Гипербола– ГМТ, равноудаленных от данной точки плоскости Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , называемой фокусом, и данной прямой Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , называемой директрисой

( Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ,см. рис. 5.15). В системе координат, центр которой совмещен с вершиной параболы, а ось Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru направлена по оси параболы (рис. 5.15), ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение параболы):

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , (5.21)

где Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru – параметр параболы.

Парабола, вершина которой не совпадает с началом координат, но ось которой параллельна оси координат Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , задается общим уравнением (5.17), в котором Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru и либо Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru либо Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru .

Пример. Парабола задана уравнением Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Найти параметр параболы Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru .

◄ Заменой Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru данное уравнение приводится к каноническому виду Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , отсюда имеем Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru . Замена соответствует преобразованию исходной системы координат. Рис. 5.15 позволяет легко понять, что в исходной системе, в которой уравнение имеет вид Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , ветви параболы направлены вверх (по оси Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru ), ее фокус находится на оси Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru на расстоянии Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru от начала координат, директриса параллельна оси Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru , находясь от нее также на расстоянии Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы - student2.ru

Наши рекомендации