Системы ур-ний. Матричная запись системы ур-ний.Связь между решение матричногоур-ния и решением системы.
Системы линейных однородных уравнений
Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени. Так, например, 
есть линейное уравнение с одним неизвестным; 
- линейное уравнение с двумя неизвестными.
Если в исходной системе все свободные члены равны нулю, то система называется однородный. Такая система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение: 
.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение: 
, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если система совместна и имеет единственное решение, то она называется определенной; если же решений бесконечно много, то система называется неопределенной. При работе с системой принципиальным является вопрос о ее совместности. Пусть доказано, что система совместна. Возможны следующие случаи:
а) если система совместна, то есть 
и число неизвестных равно рангу матриц А и В 
, то она имеет единственное решение;
б) если же система совместна, но 
, то она имеет бесконечно много решений.
Теорема Кронекера-Капелли:Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.
ФормулыКрамера.
Рассмотрим частный случай системы (4), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Пусть для определенности 
, то есть система имеет вид
.
Определитель 
называется основным определителем данной системы. Следующие три определителя называются вспомогательными:
, 
, 
.
Теорема Крамера:Если определитель матрицы А 
то система имеет единственное решение определяющееся формулами: 
.
Доказательство:
АХ=B.не трудно показать что матрица Х= 
является решением данного уравнения ( 
существует т.к.определитель матрицы А 
).Действительно А( )=В; ( А)В=В; ЕВ=В; В=В.Верно.Покажем, что данное математическое уравнение имеет единственное решение.Пусть 
решение данного уравнения, тогда 
АХ=В определяется формулой Х= В. То есть 
= 
== 
Заметим что определитель матрицы А(1);
А(1)= 
А(2)= 
- - - - - - - - - - - -- - - - - - - -
А(3)= 
Алгебраические дополнения последних формулах составлены к матрицам отличных от А, но при их нахождении столбик свободных членов вычеркивается, поэтому они совпадают с соответств. алгебраич. дополнением матрицы А.Таким образом: 
Замечание: При доказательстве теоремы 5 мы получили попутно способ решения систем с помощью обратной матрицы, его удобно применять если обратная матрица, матрица систем известна.
Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений.
Метод Гаусса
Метод Гаусса –решение СЛУ в последовательном исключении неизвестных .
Замечание1-при решениисист. Методом Гауса работают только со строками расширенной матрицы.
Существует общий метод решения системы из 
уравнений с 
неизвестными, который называется методом последовательного исключения неизвестных или методом Гаусса.Последовательное исключение неизвестных проще и короче проводить с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы данной системы. К ним относятся:
а) перестановка местами каких-либо строк матрицы;
б) умножение или деление (сокращение) какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;
в) умножение какой-либо строки матрицы на число 
и прибавление к другой строке.
Очевидно, что элементарные преобразования не изменяют ранга расширенной матрицы, другими словами, не нарушают равносильности исходной системы. После ряда таких преобразований исходная матрица будет приведена к одному из следующих видов:
или 
.
В первом случае система имеет единственное решение, во втором – либо бесконечно много решений, если 
, либо не имеет решений, если 
.