Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, как сейчас увидите.
Пример 4:
Решить систему линейных уравнений:
Мы взяли ту же систему, что и в первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной y одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная y.
В этом и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.
Теперь всё просто: 
– подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):
.
В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:
Ответ: x = -4, y = 1.
Пример 5:
Решить систему линейных уравнений:
В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.
Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:
Как видим, числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.
Будем рассматривать коэффициенты при переменной x:
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, просто перемножьте коэффициенты: 3∙4 = 12.
Далее первое уравнение умножаем на число
.
Второе уравнение умножаем на число 
. В результате система придет к виду:
Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.
На всякий случай приведём еще раз действия, которые проводятся мысленно:
Следует отметить, что можно было бы сделать и наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Начисто запишем:
.
Теперь подставим вычисленное значение переменной (y) в одно из уравнений системы. Например, в первое:
.
Ответ: 
.
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной (y):
.
Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.
Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4:
.
Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:
Ответ:
Пример 6:
Решить систему линейных уравнений:
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).