Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему (I) ( см. §1).

Обозначим:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - матрица коэффициентов при неизвестных

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - матрица – столбец свободных членов

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - матрица – столбец неизвестных

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Определение 1. Матрица Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru называется основной матрицей системы (I), а матрица Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - расширенной матрицей системы (I).

По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1) можно разложить на множители:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , т.е.

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . (2)

Равенство (2) называется матричной записью системы (I).

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Пусть в системе (I) ( см. §1) m=n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , (3)

где Δ = det A называется главным определителем системы (I), Δi Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru получается из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец из свободных членов системы (I).

Пример.

Решить систему методом Крамера :

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

По формулам (3) Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Вычисляем определители системы:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Чтобы получить определитель Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , мы заменили в определителе Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ; аналогичным образом, заменяя в определителе Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Решение системы :

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пусть в системе(I) (см. §1) m=n и основная матрица системы невырожденная Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2):

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , (2)

т.к. матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru (см. теорему 1 §6 главы 1). Умножим обе части равенства (2) на матрицу Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , тогда

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . (3)

По определению обратной матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Из равенства (3) имеем

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

отсюда

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . (4)

Пример 1.

Решить систему с помощью обратной матрицы

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Обозначим

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ; Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ; Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

В примере (§ 3)мы вычислили определитель Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , следовательно, матрица A имеет обратную матрицу Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Тогда в силу (4)

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , т.е.

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . (5)

Найдем матрицу Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru (см. §6 главы 1)

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Ответ: Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru

Метод Гаусса.

Пусть задана система линейных уравнений:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . (I)

Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.

Определение 1. Назовем элементарным преобразованием системы (I) любое из трёх действий :

1) вычёркивание нулевого уравнения;

2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l;

3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.

Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.

Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы :

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.

В матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х1, 2-ой столбец - из коэффициентов при х2 и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х2, а во 2-ом столбце - коэффициенты при х1.

Будем решать систему (I) методом Гаусса.

1. Вычеркнем в матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).

2. Проверим, есть ли среди строк матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.

3. Пусть матрица Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a11=0, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).

4. Умножим 1-ую строку на Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x1 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru получаем нули в 1-ом столбце под элементом a11 :

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

5. Вычеркнем в матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a22 /=0, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Далее умножаем элементы 2-ой строки на Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем - элементы 2-ой строки на Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a22 /

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х2 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1) :

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

где

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Эта система равносильна системе (I)

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Из последнего уравнения выражаем Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ; подставляем Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru в предыдущее уравнение, находим Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и т.д., пока не получим Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Замечание 1. Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.

1. Система (I) несовместна.

2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru число строк равно числу неизвестных ( Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ).

3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru меньше числа неизвестных Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ( Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ).

Отсюда имеет место следующая теорема.

Теорема. Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.

Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:

а) Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ;

б) Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ;

в) Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Решение.

а) Перепишем заданную систему в виде:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).

Составляем расширенную матрицу:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Нулевых строк нет; несовместных строк нет, Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ; исключим 1-ое неизвестное Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru соответствует система уравнений

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

В матрице Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru нулевых строк нет, несовместных строк также нет, исключим неизвестное Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru из 3-го уравнения системы, для этого умножим элементы 2-ой строки матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки :

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Матрица Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru содержит несовместную строку (в 3-ей строке все элементы равны нулю, кроме последнего). Этой строке соответствует несовместное уравнение Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru . Следовательно, система решений не имеет ( Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ), система несовместна.

б) Составляем расширенную матрицу:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Нулевых строк нет, несовместных строк нет, Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , исключаем неизвестное Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru из 2-го и 3-го уравнения заданной системы, для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru на «-2», затем на «-3» и сложим соответственно с элементами 2-ой и 3-ей строк, получим

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Рекомендуем читателю проанализировать, какие операции при этом совершаются с заданной системой уравнений. Умножаем элементы 2-ой строки матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки, получаем:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

где Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - матрица ступенчатого вида.

Записываем систему уравнений, соответствующую этой матрице

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Теперь двигаемся снизу вверх. Из последнего уравнения находим Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Подставляя это равенство в предпоследнее уравнение, находим Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Подставляя Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru в первое уравнение, получаем : Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Ответ: Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - система имеет единственное решение.

в) Составляем расширенную матрицу:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru

1. Переставим местами 1-ую и 2-ую строку для упрощения вычислений (меняем местами уравнения в заданной системе).

2. Умножим элементы 2-ой строки матрицы последовательно на «-2», «-1» и «-5» и сложим соответственно с элементами 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (для получения нулей под элементом Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ).

3. Аналогичным образом, получаем нули под элементом Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

4. Вычеркиваем нулевые строки.

Последняя матрица – ступенчатая. Переходим от нее к системе уравнений:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ;

из последнего уравнения получаем:

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru ,

подставляя это равенство в 1-ое уравнение системы, находим

Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru .

Ответ: Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения переменным Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru и Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru , мы каждый раз будем получать частные решения заданной системы уравнений.

Замечание . Количество уравнений в окончательной системе при решении методом Гаусса всегда равно рангу матрицы Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru - Матричная запись системы линейных уравнений. - student2.ru (см. определение 3§7 главы 1).

Наши рекомендации