Предел функции на бесконечности и бесконечные пределы.

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке , можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторону или . В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции при равен , если для существует такое, что для , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство . Аналогично, при , если для существует такое, что для , , выполняется неравенство .

Если функция , где и есть суммы одночленов от переменной то предел отношения при или равен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной функций и ).

Пример 3. , поскольку для выполнено неравенство , если только

Пример 4. .

Пример 5.

.

Бесконечные пределы

Функция называется бесконечно малой при (или , или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число ( ), что для всех будет верно неравенство . При ( ) функция называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е. . Теорема: Если функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: .

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию , определенную на множестве , можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа и бесконечно малой величины : то число является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

· Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

· Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;

· Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой при (или , или ) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число ( ), что для всех будет верно неравенство .

При ( ) функция называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е. .

Свойства бесконечно больших величин:

· Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;

· Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;

· Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при ( ) то функция есть бесконечно большая величина при ( ).

Обратная теорема. Если функция есть бесконечно большая величина при ( ) то функция есть бесконечно малая величина при ( ).

Сравнение бесконечно малых величин:

· Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е. ;

· Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с , если предел отношения к равен нулю, т.е. ;

· Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е. ;

· Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. .

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

Если и , то

Если и при а для близких к (т.е. ограничена в окрестности точки ), то .

Пример 8. , т.к. , а

Пример 9. т.к. и при .