Дайте определение точки экстремума функции. Сформулируйте теорему Ферма, необходимые и достаточные условия экстремума и докажите их.

Экстремумы – точка x₀ из области определения ф-ции D(y), наз. точкой максимума (минимума), если имеет место неравенство: f(a)>f(x) (f(a)<f(x)), для любого x, из некоторой Е-окрестности точки а.

Теорема Ферма – если точка x=a явл. точкой экстремума ф-ции y=f(x) и производная, в этой точке сущ., то f’(a)=0.

Точки производной ф-ции. в которых =0, наз. стационарными.

Достаточное условие экстремума – если производная ф-ции, при переходе через точку x=a меняет знак, то а – точка экстремума ф-ции, а именно: если знак производной меняется с плюса на минус, то a – точка max.

Достаточный признак возрастания ф-ции –Если f’(x)=0 в каждой точке интервала I, то ф-ция возрастает на этом интервале.

Достаточный признак убывания ф-ции – Если f’(x)<0 в каждой точке интервала I, то ф-ция убывает на этом интервале.

БИЛЕТ

Монотонности функции. Изложите правило нахождения промежутков монотонности и точек зкстремума графика функции.
Если функция f(x), имеющая производную на отрезке (a;b), возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке (a;b) не отрицательная, т.е. f´ (x) ≥0.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и дифференцируема в промежутке (a;b), причём f´ (x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке (a;b).

Правило нахождения промежутков монотонности:

· Найти производную f’(x)

· Найти критические точки в которых f’(x)=0 или не существуют по первой производной.

· Нанести эти точки на числовую прямую

· Определить знак производной на каждом из промежутков

· Установить изменение знака производной, при переходе через критические точки

· Найти F(min) и F(max).

БИЛЕТ

Направления выпуклости кривой .Сформулируйте достаточное условие направления выпуклости кривой.

Направления выпуклости кривой.Кривая наз.выпуклой (вогнутой) вверх (вниз) в точке х=а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под (над) своей касательной.

Достаточное условие выпуклости:Если в некотором промежутке вторая производная ф-ции положительная, то кривая выпукла (вогнута) вниз, т.е. вогнута, ну а если отриц., то прямая выпукла вверх.

БИЛЕТ

Дайте. определение точки перегиба графика функции. Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования точки перегиба графика функции.

Точка перегиба.Точкой перегиба граф. ф-ции наз. точка, в которой меняется направление выпуклости кривой. Необходимое и достаточное условие сущ. точки перегиба:Если для ф-ции y=f(x) ее вторая производная в некоторой точке х=а обращается в 0 S”(x)=0, и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с коэф. (a; f(a)) — явл. точкой перегиба граф. ф-ции.

Правило исследования ф-ции на выпуклость и перегибы:

1) Найти производную, двойную производную. f’(x); f’’(x);

2) Нах. точки, в которых вторая производная=0, или не сущ. f’’(x)=0; эти точки наз. критическими, по второй производной;

3) Найденными точками вся область опред. ф-ции разбивается на интервалы, в каждом из которых вторая производная сохраняет свой знак;

4) Опред. знак второй производной в каждом из указанных промежутков;

5) Устанавливаем изменение знака второй производной, при переходе через критич. точку;

6) Вычисляем ординаты точек перегиба и записываем ответ.

БИЛЕТ

Дайте определение промежутков выпуклости кривой. Изложите правило исследования функции на промежутки выпуклости и перегиб.

БИЛЕТ

Изложите общую схему исследования функции и построения е графика.

Общая схема исследования функции.

Схема:

1) найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;

2) найти асимптоты графика функции;

3) проверить симметрию графика, периодичность;

4) найти интервалы монотонности, экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) найти точки пересечения с осями координат;

7) провести в случае необходимости исследование на концах области определения;

8) построить график функции

БИЛЕТ

Функция нескольких переменных
1.функции нескольких переменных-если каждой паре 2-ух независимых переменных из обасти определения W ставится определ.знач.z,то говорят,что z есть ф-ия 2-ух переменных(x,y): z=f(x,y)
2.частной производной функции нескольких переменных по одной из них назыв.предел отнош.соотв.частного приращ.ф-ии к приращ.соотв.переменной,когда соотв.приращ. стремится к 0
3.дифференциал первого порядка ф-ии y=f(x)-назыв.главная линейная относительно аргумента часть.
4.вычисляются частные производные функции многих переменных:
dz=Dz/Dx*dx+Dz/Dy*dy

БИЛЕТ

21 БИЛЕТ
Дайте определение полного приращения функции нескольких переменных. Сформулируйте определение полного дифференциала функции 2-х и 3-х переменных и запишите соответствующие формулы.

Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение ?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина ?хz которая определяется соотношением ?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у». ?уz =f(x, ?у+y)-f(x,y)

Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина ?Z которая определяется сотношением ?z =f(x+?х, ?у+y)-f(x,y)

БИЛЕТ

Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
Первообразная —функция F(x) данной f(x) на интервале x=(a;b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x).

Множество первообразных ф-ции f(x) наз. неопределенный интеграл от этой функции и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+C.

Свойства неопределенного интеграла:

1) d∫f(x)dx=f(x)dx;

2) ∫F’(x)dx=F(x)+C;

3) Неопределенный интеграл от алгебраич. суммы ф-ции равен сумме неопределенных интегралов этой функции;

4) ∫k*f(x)dx=k∫f(x)dx;

5) ∫f(x)dx=F(x)+C.

БИЛЕТ

С формулируйте сущность метода замены переменной внеопределенном интеграле. И зложите теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и запишите соответствующую формулу. Разъясните последовательность подстановки

1.сущность метода замены переменной в неопределенном интеграле-Пусть требуется найти инт.f(x)dx, где функция f(x) непрерывна на некотором интервале x . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x=ф(t) , где ф(t) - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T .
Последовательность подстановки:

1) Определить, какую часть выражения следует заменить и обозначить ее новой переменной;

2) Найти дифференциалы левой и правой частей записи;

3) Выразить дифференциал старой переменной или выражение, содержащее этот дифференциал через дифференциал новой переменной;

4) Все подставить под интеграл;

5) По таблице найти неопределенный интеграл от функции;

6) Вернуться к исходной переменной

БИЛЕТ